Stationäre Stelle und deren Typen

Question

Berechnen Sie alle stationären Stellen der Funktion
f(x;y)= x^2(2-y)+y^2
und untersuchen Sie, welcher Typ an den jeweiligen Stellen vorliegt.

Ableitungen sind:

fx=2x(2-y)
fxx=2(2-y)
fy=-x^2+2y
fyy=2
fxy=-2x

Hab bei den ersten Ableitungen jeweils 0 für x und y und bei der Hessematrix kriege ich auch 0 raus.

Habe ich nun ein Sattelpunkt und ist die Aufgabe von dort aus fertig?

Answer 1

f(x, y) = x^2·(2 - y) + y^2

f'(x, y) = [2·x·(2 - y), 2·y - x^2] = [0, 0]

Ich erhalte die Lösungen

(x = -2 ∧ y = 2) ∨
(x = 2 ∧ y = 2) ∨
(x = 0 ∧ y = 0)

Untersuche jetzt mit der 2. Ableitung

f''(x, y) = [2·(2 - y), - 2·x; - 2·x, 2]

Comments

Wie kommst du auf deine Lösungen?

bzw. die rechnungen für die ersten beiden Lösungen

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2·x·(2 - y) = 0

Satz vom Nullprodukt ergibt

Fall 1: x = 0

2·y - 0^2 = 0 → y = 0

Fall 2: y = 2

2·2 - x^2 = 0 → y = ±2

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Nur um zu überprüfen ob ich alles richtig gemacht habe.

bei (0;0) und (2;-2) habe ich bei der Hessematrix jeweils 0 raus.
beim (-2;2) kriege ich -16 raus und muss dann auch mit diesem "Punkt" weiter rechnen bzw. in die 2. Ableitungen einsetzen um herauszufinden ob es ein Min/Max/Sattelpunkt ist.

Ich kriege dann dort fxx=0 und fyy=2 raus; also habe ich einen Tiefpunkt bzw. Minimum?

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für (0|0)  ergibt die HM  8

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Die Hessematrix ist wie der Name sagt einer Matrix. Die Matrix selber nimmt nicht den Wert 8 an.

Für x = y = 0 ergibt sich

[2·(2 - 0), - 2·0; - 2·0, 2] = [4, 0; 0, 2]

Alle Hauptminoren sind positiv damit ist die Matrix positiv definit und damit ist dort ein Minimum.

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Die Hessematrix.... selber ...  nimmt nicht den Wert 8 an

Damit hast du natürlich recht.

für (0|0)  ergibt die HM  8

bezog sich auf

bei der Hessematrix kriege ich auch 0 raus

Deine Bezeichung f"(x) für die Hessematrix finde ich sehr ungewöhnlich.