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Aufgabe:

Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der Tangenten t(x) = a * x + b an die Parabel p(x) = 2*x^2-3*x+1, die durch den Punkt P (3,2) verlaufen. Berechnen Sie die Koordinaten der Tangentenpunkte.


Problem/Ansatz:

Ich habe gemerkt, dass wenn die Funktion p(x) = t(x) ist, dass die sich dann berühren. Aber ich komme nicht weiter. Wie würdet ihr das rechnen?

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Hallo Atorian,

Es ist schon mal eine gute Idee, die Tangente und die Parabel zum Schnitt zu bringen. Eine Gerade \(t\), die durch den Punkt \(P(3;2)\) geht, hat die allgemeine Form $$t(x) = m(x-3) + 2$$ wobei \(m\) die Steigung der Geraden ist. Jetzt setze sie, wie Du vorgeschlagen hast, gleich: $$\begin{aligned} p(x) &= t(x) \\ 2x^2-3x+1 &= m(x-3) + 2 \\2x^2 - (3+m)x + 3m -1 &= 0 \\ x_{1,2} &= \frac{3+m \pm \sqrt{(3+m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3m-1)}}{4} \end{aligned}$$ Wenn sich die Gerade und die Parabel nur berühren, aber nicht schneiden sollen, dann kann es nur eine Lösung, d.h. einen gemeinsamen Punkt geben. Daraus folgt, dass der Ausdruck unter der Wurzel zu 0 werden muss $$\begin{aligned}(3+m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3m-1) &= 0 \\ 9 + 6m + m^2 - 24m + 8 &= 0 \\ m^2 -18m + 17 &= 0 \\ m_{1,2} = 9 \pm \sqrt{81 - 17} = 9 \pm 8\end{aligned}$$ Damit haben wir zwei Tangenten mit den Gleichungen $$t_1(x) = 1(x-3)+2 = x-1 \\ t_2(x)=17(x-3)+2 = 17x -49$$ Der Plot zeigt das nochmal ~plot~ 2*x^(2)-3*x+1;{3|2};(x-3)+2;17(x-3)+2;[[-2|12|-2|50]] ~plot~ Gruß Werner

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Wie bist du auf das gekommen? t(x)=m(x−3)+2 Diese Form kenne ich gar nicht.

Ah, du bist die Punkt-Steigungs-Formel.

Wie bist du auf das gekommen? t(x)=m(x−3)+2 Diese Form kenne ich gar nicht.

Das ist eine Form für lineare Funktionen, bei denen genau ein Punkt gegeben ist. Sei dieser Punkt \(Q(q_x;\,q_y)\), dann wäre die lineare Funktion \(f(x) \) durch \(Q\) $$f(x) = m(x-q_x) + q_y$$ Berechne einfach \(f(q_x)=?\), dann siehst Du sofort, dass dies Sinn macht.

Wie berechne ich die Koordinaten der Tangentenpunkte?

Das ist doch einfach: t1(x) = p(x) oder? Ich muss dann einfach das auflösen nach x.

Also wären die Koordinaten von t1(x): (1;0) und für t2(x); (5;36) ?

Wie berechne ich die Koordinaten der Tangentenpunkte?

oben steht doch die Formel für \(x_{1,2}= \dots\). Der Ausdruck unter der Wurzel ist 0. Also bleibt $$x_{1,2} = \frac{3+m_{1,2}}{4}$$ setze die beiden Werte von \(m\) ein und Du erhältst $$x_1 = \frac{3+1}{4}=1; \quad x_2 = \frac{3+17}{4} = 5$$

Gut, vielen Dank für deine Hilfe und einen schönen Abend wünsche ich dir noch.

Also habe ich es richtig gemacht mit den Koordinatenpunkten.

Ja das stimmt. Die Rechnung \(p(x)=t(x)\) haben wir oben ja schon gemacht, also kannst Du das wieder verwenden. Du musst nicht nochmal alles durchrechnen.

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Hallo

 die Funktionen sind nicht gleich, aber sie haben 2 oder einen oder keinen Schnittpunkt. also setze p(x)=t(x) um den bzw. die Schnittpunkte zu bestimmen. Da du ne quadratische Gleichung hast muss für nur eine Lösung der Wert der Wurzel 0 sein.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Dann habe ich mich falsch ausgedrückt, ich wollte genau das sagen, was du gesagt hast.


Ich habe die gleichgesetzt.


Was muss ich machen jetzt machen?

nach x auflösen.

Gruß lul

Das habe ich gemacht und bekomme komische Wurzelterme.

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y=a*(x-3)+2

y'=a

p'=4x-3

a=4x--3

(4x-3)(x-3)+2=4x^2-12x-3x+9+2=4x^2-15x+11

4x^2-15x+11=2x^2-3x+1

2x^2-12x+10=0

x^2-6x+5=0

x_{1,2}=3±√(9-5)

x_{1}=3+2=5

x_{2}=3-2=1

a_{1}=4*5-3=17

a_{2}=4-3=1

t_{1}=17*(x-3)+2=17x-49

t_{2}=(x-3)+2=x-1

Avatar von 26 k
(4x-3)(x-3)+2=4x2-12x-3x+9=4x2-15x+9

$$(4x-3)(x-3)+2=4x^2-12x-3x+9+2\\ \quad =4x^2-15x+11 $$ ... in der nächsten Zeile stimmt es wieder

Danke für den Hinweis.

Wie berechne ich die Koordinaten der Tangentenpunkte?


Das ist doch einfach: t1(x) = p(x) oder? Ich muss dann einfach das auflösen nach x.


Also wären die Koordinaten von t1(x): (1;0) und für t2(x); (5;36) ?


Ja das stimmt.

Das reicht für heute. :D

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