Gleichung: Warum schreibt man auf einmal 5^2?

Question

Ich habe eine Frage warum schreibt man aufeinmal 5² wie kommt man darauf?

\( x^{2}+10 x=-24 \)
\( x^{2}+10 x+5^{2}=5^{2}-24 \)
\( x^{2}+10 x+5^{2}=25-24 \)
\( x^{2}+10 x+5^{2}=1 \)
\( (x+5)^{2}=1 \)
\( x+5=\pm \sqrt{1} \)
\( x_{1}+5=1 \)
\( x_{1}=-5+1 \)
\( x_{1}=-4 \)
\( x_{2}+5=-1 \)
\( x_{2}=-5-1 \)
\( x_{2}=-6 \)

Answer 1

Hi,

das ist die sogenannte "quadratische Ergänzung" und Ziel ist es auf der linken Seite eine binomische Formel zu kreieren.

Da Du links x^2+10x = x^2+2*x*5 stehen hast und Du das nun mit der binomischen Formel

a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 vergleichst, kannst Du b zu 5 identifizieren.

Folglich ist b^2 = 5^2. Das wird auf beiden Seiten addiert und die binomische Formel ist komplett.

Weiteres Vorgehen entnehme oben ;).

 

Alles klar?

Grüße

Answer 2

Das ist die quadratische Ergänzung.

Man addiert sie zu der linken Seite der Gleichung, damit man diese dann mit Hilfe einer binomischen Formel in einen quadratischen Ausdruck umformen kann.

Wenn ein Ausdruck der Form x  ² + b x auf der linken Seite steht, dann ist die quadratische Ergänzung zu diesem Ausdruck ( b / 2 ) ².

Im vorliegenden Beispiel hat man auf der linken Seite:

x ² + 10 x

also einen Ausdruck in der genannten Form mit b = 10. Die quadratische Ergänzung ist daher ( 10 / 2 ) ² = 5 ²

Die quadratische Ergänzung muss natürlich auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens addiert werden, damit sich die Lösungsmenge der Gleichung nicht ändert.