z^3 = -1 = e^(j*pi/3) * e^(j*2*pi/3 *k) ?

Question

Aufgabe:

$$z^3 = -1 = \sqrt[3]{-1}\cdot {e}^{j\cdot \frac{2\cdot \pi\cdot k}{3}} = \underbrace{{e}^{j\cdot \frac{\pi}{3}}}_{?} \cdot {e}^{j\cdot \frac{2\cdot \pi\cdot k}{3}}$$

Problem/Ansatz:

Wie kommt der Teil mit dem Fragezeichen zustande ?

VG :)

Answer 1

Solche Aufgaben kannst Du mit dieser Formel berechnen:

Answer 2

(e^j·π/3)³ = e^3·j·π/3 = e^jπ = -1.

Comments

Dann wäre doch mit

$$\sqrt[3]{-1^3} = -1$$ und nicht

$${e}^{j\cdot \frac{\pi }{3}}$$

Answer 3

Mit der hier genannten Wurzeldefinition lässt sich nicht rechnen wie mit reellen Zahlen. Es kommt zu Widersprüchen. https://www.mathelounge.de/596076/sqrt-mit-der-definition-komplexen-wurzelfunktion-berechnen#c596118

Im Komplexen gibt es jeweils mehrere Lösungen z für Gleichungen z^n = a.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E3+%3D+-1

Zeigt dir, welche 3 Elemente des Einheitskreises "hoch 3" dein -1 geben. Sie sind allesamt "3. Wurzeln" aus -1.