Trigonometrische Gleichung Anwendungsaufgabe

Question

Aufgabe: 

Das langjährige Monatsmittel der Lufttemperatur (in C°) an einem bestimmten Ort lässt sich die Abhängigkeit von betreffenden Monat(1:Januar,2:Februar,...) oft näherungsweise beschreiben durch die Funktion f mit f(t)=a*sin(b(t+c))+d 
t element [1,2,...12]

Problem:
Bestimmen Sie f unter der Annahme,dass jeweils in Januar und in Juli die Extrema auftreten.
a) Stuttgart: Jan.:1°/Juli:19°C

Ich verstehe die Aufgabe gar nicht und weißt nicht welche Rechenschritte ich erst machen muss um die Aufgabe zu lösen...

Answer 1

Hallo Fataha,

Schau Dir eine ganz normale Sinus-Funktion an:

~plot~ sin(x);[[-1|14|-3|22]] ~plot~

Die Funktion verläuft zwischen \(-1\) und \(+1\). Die Mitte liegt bei \(0\) und der 'Ausschlag' nach oben und unten ist \(1\). Die Temperatur-Funktion verläuft zwischen \(-1°\) und \(+19°\). Die Mitte wäre \(9°\) mit einem Ausschlag von \(10°\) nach oben und unten. Also ist \(a=10°\) und \(d=9°\). \(d\) hebt die ganze Funktion auf das Niveau von \(9°\) - das sieht so aus:

~plot~ 10sin(x)+9;9;[[-1|14|-3|22]] ~plot~

Minimum und Maximum passen, aber die Periode nicht. Die Sinus-Funktion wiederholt sich nach \(2\pi\); die Temperatur-Funktion soll sich nach 12 (Monaten) wiederholen. Also muss diese \(12\) auf \(2\pi\) 'zusammen gepresst' werden. Mit was muss man \(12\) multiplizieren, damit \(2\pi\) raus kommt?

Mit \(b = \frac{\pi}6\); und das sieht jetzt so aus

~plot~ 10sin(pi*x/6)+9;[[-1|14|-3|22]] ~plot~

blöd bloß dass es nun im März schon so warm ist und im September tiefster Winter. D.h. die Kurve muss noch in X-Richtung verschoben werden. Die Sinusfunktion beginnt genau in der Mitte zwischen Minimum und Maximum. Das Minimum wäre bei \(1\) (Januar) und das Maximum bei \(7\) (Juli). Die Mitte ist \((1+7)/2=4\) - also muss die Kurve um \(x=4\) verschoben werden, somit ist \(c=-4\)

~plot~ 10sin(pi*(x-4)/6)+9;[[-1|14|-3|22]] ~plot~

und fertig ist der Temperaturverlauf $$f(t)=10° \cdot \sin(\frac{\pi}{6}(t-4))+9° \quad t \space \text{in Monaten}$$Gruß Werner

Answer 2

Hallo

die Temperatur ist ein sin mit der Periode 1Jahr oder 12 Monate usw. Minimum im Januar bei 1° Max im Juli bei 19° die Mitte liegt also nicht bei 0 sondern bei (19+1)/2=10 das ist dein d, dein a ist dann 10° dein b=2π/(12Monate) die Verschiebung kriegst du raus, wenn du es zeichnest, und im Januar den tiefsten Punkt hast.

Gruß lul

Comments

Danke erstmals für die Antwort aber ich verstehe nicht wie Sie da drauf gekommen sind, könnten Sie mir bitte etwas ausführlicher erklären?

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Hallo

du musst schon genauer sagen , was du nicht verstehst? die Periode? das Min und Max, die Mitte? hast du versucht es zu zeichnen, wenn auch nur grob?

Gruß lul