0 Daumen
788 Aufrufe

Ich habe eine Tridiagonalmatrix gegeben:

$$\begin{pmatrix} a_1 & b_2 & 0 & ... & 0 \\ c_2 & a_2 & b_3 &0 &... & 0\\ 0 & c_2 & a_3 &b_4& ... &0 \\ 0& ...& c_3 & \\ 0&...&0 &...& &b_n \\ 0 &...&0&0&c_n & a_n \end{pmatrix}$$


Ich soll nun zeigen, dass  für folgende Bedinungen eine LR Zerlegung existiert.

|a_1| > |b_2|

|a_i| >= |c_i| + |b_(i+1)| für alle i von 2 bis n

|a_n| >= |c_n|   mit c_i =! 0 und für alle i von 2 bis n.

Problem/Ansatz:

Damit so eine LR Zerlegung existiert muss ich ja zeigen, dass alle Untermatrizen eine Determinante =! 0 haben. Das kann ich für die ersten 3 auch Problemlos zeigen, aber wie zeige ich es für den Rest ? Habs mit induktion probiert, aber ich kann dann einfach nicht zeigen, dass das Ergebnis =! 0 ist.



Hilfe ist willkommen.

MfG

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Ich hab das mal gerechnet (und erstmal die falsche reinkopiert - jetzt sollte es passen)


\(\small L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\cr \frac{c2}{detA1} & 1 & 0 & 0 & 0\cr 0 & \frac{c3\,detA1}{detA2} & 1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & \frac{c4\,detA2}{detA3} & 1 & 0\cr 0 & 0 & 0 & \frac{c5\,detA3}{detA4} & 1\end{pmatrix}\)

\(\small R=\begin{pmatrix}detA1 & b1 & 0 & 0 & 0\cr 0 & \frac{detA2}{detA1} & b2 & 0 & 0\cr 0 & 0 & \frac{detA3}{detA2} & b3 & 0\cr 0 & 0 & 0 & \frac{detA4}{detA3} & b4\cr 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{detA5}{detA4}\end{pmatrix}\)

und


aber noch nicht weiter darüber nachgedacht - vielleicht fällt Dir was dazu ein?

Avatar von 21 k

Weiß nichtmal, wie du auf diese Rechnung kommst, durch die determinante zu teilen. Ich kann ja konkret zb. die determinanten der ersten 3 Hauptuntermatrizen ausrechnen. Aber ich muss ja zeigen, dass ALLE ungleich 0 sind. Wie mache ich das ?


MfG

Nun, ich hab einfach eine LR Zerlegung durchgeführt und zusammengefasst.

Determinanten =! 0, folgt aber aus

L R = A

L:====> detL=1

R:  detA1 = a1 <===> a1 =! 0 <===> entlang Diagonale  <====> detR=detA5=detA

ggf. mit Induktionsschluss

Ich seh jetzt nicht, wie das hilft die Behauptungen zu belegen.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community