LR Zerlegung einer Matrix existiert ?

Question

Ich habe eine Tridiagonalmatrix gegeben:

$$\begin{pmatrix} a_1 & b_2 & 0 & ... & 0 \\ c_2 & a_2 & b_3 &0 &... & 0\\ 0 & c_2 & a_3 &b_4& ... &0 \\ 0& ...& c_3 & \\ 0&...&0 &...& &b_n \\ 0 &...&0&0&c_n & a_n \end{pmatrix}$$

Ich soll nun zeigen, dass  für folgende Bedinungen eine LR Zerlegung existiert.

|a_1| > |b_2|

|a_i| >= |c_i| + |b_(i+1)| für alle i von 2 bis n

|a_n| >= |c_n|   mit c_i =! 0 und für alle i von 2 bis n.

Problem/Ansatz:

Damit so eine LR Zerlegung existiert muss ich ja zeigen, dass alle Untermatrizen eine Determinante =! 0 haben. Das kann ich für die ersten 3 auch Problemlos zeigen, aber wie zeige ich es für den Rest ? Habs mit induktion probiert, aber ich kann dann einfach nicht zeigen, dass das Ergebnis =! 0 ist.

Hilfe ist willkommen.

MfG

Answer 1

Ich hab das mal gerechnet (und erstmal die falsche reinkopiert - jetzt sollte es passen)

\(\small L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\cr \frac{c2}{detA1} & 1 & 0 & 0 & 0\cr 0 & \frac{c3\,detA1}{detA2} & 1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & \frac{c4\,detA2}{detA3} & 1 & 0\cr 0 & 0 & 0 & \frac{c5\,detA3}{detA4} & 1\end{pmatrix}\)

\(\small R=\begin{pmatrix}detA1 & b1 & 0 & 0 & 0\cr 0 & \frac{detA2}{detA1} & b2 & 0 & 0\cr 0 & 0 & \frac{detA3}{detA2} & b3 & 0\cr 0 & 0 & 0 & \frac{detA4}{detA3} & b4\cr 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{detA5}{detA4}\end{pmatrix}\)

und

aber noch nicht weiter darüber nachgedacht - vielleicht fällt Dir was dazu ein?

Comments

Weiß nichtmal, wie du auf diese Rechnung kommst, durch die determinante zu teilen. Ich kann ja konkret zb. die determinanten der ersten 3 Hauptuntermatrizen ausrechnen. Aber ich muss ja zeigen, dass ALLE ungleich 0 sind. Wie mache ich das ?


MfG

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Nun, ich hab einfach eine LR Zerlegung durchgeführt und zusammengefasst.

Determinanten =! 0, folgt aber aus

L R = A

L:====> detL=1

R:  detA1 = a1 <===> a1 =! 0 <===> entlang Diagonale  <====> detR=detA5=detA

ggf. mit Induktionsschluss

Ich seh jetzt nicht, wie das hilft die Behauptungen zu belegen.