Kettenregel beim Aufleiten

Question

Wenn man folgendes aufleitet:

f(x)= x * e^-x+1

F(x)= (-1-x) * e^-x+1

Leitet man den äußeren Ausdruck ab und setzt ihn vor.

Wenn man aber folgendes ableitet:

g(x)= -x * e^-2

G(x)= -1/2 * e^-2 * x^2

Leitet man auf und setzt es davor.

Warum leitet man bei F(x) das äußere ab, obwohl das ein Aufleiten Vorgang ist ? 

Und bei G(x) leitet man das äußere auf, was mir eigentlich einleuchtender ist, weil ich ja Aufleiten will.

Gibt es da eine bestimmte Regel zu ?

Answer 1

f(x)= x · e^-x+1 leitet man mit partieller Integration auf:

        ∫ u'(x)·v(x) dx = u(x)·v(x) - ∫ u(x)·v'(x) dx

Wähle dazu u'(x) = e^-x+1 und v(x) = x.

Wenn man aber folgendes ableitet: g(x)= -x * e^-2

Das leitet man mit der Faktorregel ab:

        g'(x) = -e^-2

und auf:

        G(x) = -e^-2/2 ·x²

Answer 2

Zunächst mal hast du dort ein Produkt stehen der eine Faktor entstand offensichtlich nicht aus der inneren Ableitung. Integriert wird hier mit der partiellen Integration

∫ u(x)·v(x) dx = U(x)·v(x) - ∫ U(x)·v'(x) dx

∫ e^(1 - x)·x dx = -e^(1 - x)·x - ∫ -e^(1 - x)·1 dx

∫ e^(1 - x)·x dx = -e^(1 - x)·x + ∫ e^(1 - x) dx

∫ e^(1 - x)·x dx = -e^(1 - x)·x - e^(1 - x) + C

∫ e^(1 - x)·x dx = e^(1 - x)·(-x - 1) + C

Comments

∫ - x·e^(-2) dx

Man beachte das e^(-2) einfach ein konstanter Faktor ist und hier nur das x zu Integrieren ist

∫ - x·e^(-2) dx = -1/2·x^2·e^(-2) + C

Answer 3

Also deine Stammfunktion stimmt so nicht. Sie müsste \(F(x)=\left(-x-1\right)\mathrm{e}^{-x}+\textbf{x} +C\) lauten.

Also ich verstehe deine Argumentation nicht ganz. Bei g(x) musst du doch gar nicht substituieren, da \(e^{-2}\) ein Faktor ist, den du laut der Faktorregel vor das Integral ziehen kannst.

Für dein f(x) gilt das gleiche mit der 1, wodurch du nur noch \(xe^{-x}\) integrierst, wobei du hier zwei Faktoren hast. Also solltest du partiell integrieren.

Die Kettenregel existiert beim Integrieren nicht, da du dort substituierst.