Zeigen Sie, daß die Tangente an den Graphen von f im Punkt x0 folgende Gleichung hat

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Tangente an den Graphen von f im Punkt x₀  die Gleichung y= \( \sqrt{\frac{2}{x0}} \)*(x+x₀) 

Es sei f: ℝ+→ℝ definiert durch f(x) = \( \sqrt{8x} \)

Problem/Ansatz:

Die allgemeine Tangentengleichung lautet ja:  t_x0 (x) = f(x₀) + f'(x₀)*(x-x₀)

als erstes leite ich f ab: f'(x) = \( \sqrt{\frac{2}{x0}} \)

Wenn ich dann in die Tangentengleichung einsetze komme ich auf: f'(x) = \( \sqrt{8x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*(x-x₀)

Weiß jemand was ich falsch mache bzw. warum ich nicht auf die angegebene Tangentengleichung komme?

Comments

Wie es scheint, ist die zu zeigende Behauptung falsch.

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Ach, wie oft trügt doch der Schein.

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Graphen von f im Punkt x0

x0 wird in der Regel als Stelle und nicht als Punkt bezeichnet. Punkte sollten eine x- und eine y-Koordinate haben.

√(8x0) = 2√(2x0)

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Ok, nach genauerem Hinsehen nehme ich meine Behauptung zurück. Die Behauptung in der Aufgabe und der Ansatz des Fragers sind richtig. Jetzt müssen noch beide Enden zusammengeführt werden.

Answer 1

Weiß jemand was ich falsch mache ...

Nichts! beide Ausdrücke sind identisch: $$\begin{aligned} t_{x_0}(x) &= \sqrt{8x_0} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}(x-x_0)\\ &= 2\sqrt{2x_0} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x_0 \\ &= 2\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x_0 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x_0 \\ &= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x_0 \\ &= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}(x + x_0) \\ \end{aligned}$$ Gruß Werner

Comments

ah, super danke! Das habe ich einfach nicht gesehen!

Danke für die schnelle Hilfe.

Answer 2

Form doch mal etwas um:

t(x) = \( \sqrt{8x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*(x-x0)

     = \( \sqrt{8x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*x -  \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*xo

= \( \sqrt{8x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*x -  \(     \sqrt{2}*\sqrt{x0} \)

= \( 2\sqrt{2x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*x -  \(     \sqrt{2x0} \)

= \( \sqrt{2x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*x

Und dann noch ausklammern!