Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion im Intervall [a,b] wird wie folgt berechnet (Steigungsdreieck)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Hierbei entsteht eine Gerade durch die zwei Punkte (Sekante). Wenn du allerdings dein b immer immer näher an das a "heranschiebst", bekommst du deine momentane Änderungsrate für den Punkt a (Tangente). Du verringerst/lässt den Abstand also gegen null laufen (=limes x gegen null). Mit der Formel kann man das h / \(\Delta x \) wie auch immer es heißt, sehr klein wählen, um ein ungefähres Ergebnis zu wählen, denn die Steigung einer Kurve im Punkt \(A(x_0\mid y_0)\) entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Hier wird das ganze noch einmal anschaulich erklärt.
In deinem Fall also:
$$x_0=3, \: x_1=3.01\\ \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{x_1\to x_0} \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$$
Wenn wir nun ungefähr ähnliche Werte einsetzen erhalten wir für die Steigung/Änderungsrate (Differenzenquotient): \(m=\dfrac{11.4561-11.4}{3.01-3}=5.61\)
(genaue Steigung wäre 5.6).
