Der Differentialquotient..

Question

Gegeben ist eine Zeit Ort Funktion. Berechne näherungsweise die momentane geschwindigkeit zun zeitpunkt t=3.

Funktion: s=0.6t² +2t

Kann mir bitte jemand erklären wie das geht, in meinem buch steht davor nur die formel mit limes. Es wird nichts erklärt, da steht nur eine Formel die ich zum 1.mal in meinem Leben sehe und von mir wird erwartet dass ich diese Beispiele löse. Kann mir bitte jemand Sxhritt für Schritt erklären wie man das löst.

Julie

Answer 1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion im Intervall [a,b] wird wie folgt berechnet (Steigungsdreieck)
$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Hierbei entsteht eine Gerade durch die zwei Punkte (Sekante). Wenn du allerdings dein b immer immer näher an das a "heranschiebst", bekommst du deine momentane Änderungsrate für den Punkt a (Tangente). Du verringerst/lässt den Abstand also gegen null laufen (=limes x gegen null). Mit der Formel kann man das h / $\Delta x$ wie auch immer es heißt, sehr klein wählen, um ein ungefähres Ergebnis zu wählen, denn die Steigung einer Kurve im Punkt $A(x_0\mid y_0)$ entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Hier wird das ganze noch einmal anschaulich erklärt.

In deinem Fall also:

$$x_0=3, \: x_1=3.01\\ \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{x_1\to x_0} \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$$

Wenn wir nun ungefähr ähnliche Werte einsetzen erhalten wir für die Steigung/Änderungsrate (Differenzenquotient): $m=\dfrac{11.4561-11.4}{3.01-3}=5.61$
(genaue Steigung wäre 5.6).

Comments

 Danke für Ihre Antwort aber wie kommen Sie auf 11.4561 und 11.4 und was ist y1 und y0

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y=f(t) also 11.4=f(3), 11.4561=f(3.01). Einfach die jeweiligen t-Werte eingesetzt, sprich die dazugehörigen Funktionswerte.

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Vielen Dank! Sie haben mir wirklich weitergeholfen. Im Prinzip braucht man limes eigentlich gar nicht oder?

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Für einen ungefähren Wert nicht, wenn du einen exakten brauchst, dann schon (bzw. Ableitungen [was du wahrscheinlich später lernen wirst])

Answer 2

in meinem buch steht davor nur die formel mit limes

Wenn du den limes weglässt, dann hast du den sogenannten Differenzenquotient. Der gibt dir die durchschnittliche Steigung der Funktion zwischen zwei Punkten des Graphen an (in diesem Fall die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den zwei Zeitpunkten).

Wenn du die zwei Punkte nahe beieinander legst (zum Beispiel 3 und 3,001), dann bekommst du eine Näherung für die momentane Geschwindigkeit

Answer 3

Lim_h→0[0,6*(3+h)²+2*(3+h)-(0,6*3²+2*3)]/h

Lim_h→0[0,6*(9+6h+h²+6+2h-5,4-6]/h

Lim_h→0[5,4+3,6h+0,6h²+6+2h-5,4-6]/h

Lim_h→0[5,6h+0,6h²]/h

Lim_h→0[5,6+0,6h]=5,6

Comments

Da steht "näherungsweise".

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Stimmt. Habe ich erst gesehen, als ich schon alles hingeschrieben hatte. *facepalm*

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Egal, dann haben wir den Differentialquotient direkt mit abarbeitet.

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Das dachte ich mit auch. Und deine Antwort enthält ja schon alles was man für die Beantwortung der Frage braucht.

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Dankeschön für Ihre Antwort