0 Daumen
1,2k Aufrufe


Kurvendiskussion: Wendepunkte:

Ableitung von f(x)= ln(x2+ 3/4)

f ' (x) =  2x / x2+ 3/4

f" (x) = -2x2+ 3/2  / (x2+ 3/4)2

f"' (x) = 8 x5- 4x3-15/2 / (x2+ 3/4)3

WP bei (-0,866 I 0,405)

kann jemand helfen? Ist meine Rechnung richtig?



Avatar von

2 Antworten

0 Daumen


nein, die 3. Ableitung lautet: 64x(4x29)(4x2+3)3\dfrac{64x\left(4x^2-9\right)}{\left(4x^2+3\right)^3}

Die 1. und 2. sind allerdings richtig.

Avatar von 13 k

wie kommst Du darauf?

ich rechne nach der Quotientenregel : u ' v - u v' / v2

ich erhalte im Zähler: - 4x(x2+ 3/4)2 - (- 2x2 + 3/2) (2 x2 + 6/4) 2x

= 4 x3 + 3 x - (- 2 x2+ 3/2) (4x3 + 3x)

 = 8x5+ 2x3-3x -9/2x

und im Nenner:

(x2+3/4)3

[2x2+1.5(x2+0.75)2]=4x((x2+0.75)2)(2x2+1.5)(4x3+3x)(0.75+x2)4=4x56x36.75x(0.75+x2)4=64x(4x29)(4x2+3)3\left [ \dfrac{-2x^2+1.5}{(x^2+0.75)^2} \right ]'=\dfrac{-4x\cdot((x^2+0.75)^2) - (-2x^2+1.5)\cdot (4x^3+3x)}{(0.75 + x^2)^4}=\dfrac{4 x^5 - 6 x^3 - 6.75 x}{(0.75 + x^2)^4}=\dfrac{64 x (4 x^2 - 9)}{(4 x^2 + 3)^3}

Bedenke aber, dass du mehr als einen WP hast!

ich kann den Schritt von dem Bruch 4x5....  zu 64 x nicht nachvollziehen wie kommst Du darauf?

4x(x2+34)2(2x2+1.5)(4x3+3x)(0.75+x2)4 \dfrac{-4x\left(x^2+\frac{3}{4}\right)^2-(-2x^2+1.5)\cdot (4x^3+3x)}{(0.75+x^2)^4}
Den Zähler vereinfachen: 
=4x(x2+34)24x(322x2)(x2+34)(x2+34)4=\dfrac{-4x\left(x^2+\frac{3}{4}\right)^2-4x\left(\frac{3}{2}-2x^2\right)\left(x^2+\frac{3}{4}\right)}{\left(x^2+\frac{3}{4}\right)^4}
Durch das gleiche (x2+0.75)(x^2+0.75) kannst du den Bruch aufteilen=4x(x2+34)24x(322x2)(x2+34)3=-\dfrac{4x}{\left(x^2+\frac{3}{4}\right)^2}-\dfrac{4x\left(\frac{3}{2}-2x^2\right)}{\left(x^2+\frac{3}{4}\right)^3}
bzw. 4x zusammenfassen
4(x32.25x)(x2+34)3\dfrac{4(x^3-2.25x)}{(x^2+\frac{3}{4})^3}

=64x(4x29)(4x2+3)3=\dfrac{64x\left(4x^2-9\right)}{\left(4x^2+3\right)^3}

Oder du kommst von
2(2x(34+x2)22x2(34x2)(34+x2)3)=2(4x(34x2)(34+x2)32x(34+x2)2)2\left(-\dfrac{2x}{(\frac{3}{4}+x^2)^2} -2x \dfrac{2(\frac{3}{4}-x^2)}{(\frac{3}{4}+x^2)^3}\right)\\=2\left(-\dfrac{4x(\frac{3}{4}-x^2)}{(\frac{3}{4}+x^2)^3} - \dfrac{2x}{(\frac{3}{4}+x^2)^2}\right)
darauf.

Bruch aufteilen bringt mich aus dem Konzept!

ich kürze durch (x2+3/4) im Zähler links und rechts vom Minuszeichen - und erhalte im Zähler (x2+3/4)3 aber woher kommt das (x2+3/4)2 auf der linken Seite im Nenner?

Also bei dem Lösungsweg würde ich eher bei dem 4x5 Weg bleiben...

Für den mit 64x würde ich folgenden vorschlagen:

Voraussetzung dafür ist die 2. Ableitung in Form von 8(4x23)(4x2+3)2\dfrac{8(4x^2-3)}{(4x^2+3)^2}

Davon die Ableitung ist:
8(8x(4x2+3)216x(4x23)(4x2+3))(4x2+3)4-\dfrac{8\left(8x\left(4x^2+3\right)^2-16x\left(4x^2-3\right)\left(4x^2+3\right)\right)}{\left(4x^2+3\right)^4}

Das kannst du dann umformen zu:

128x(4x23)(4x2+3)364x(4x2+3)2\dfrac{128x\left(4x^2-3\right)}{\left(4x^2+3\right)^3}-\dfrac{64x}{\left(4x^2+3\right)^2}

=64x(4x29)(4x2+3)3=\dfrac{64x\left(4x^2-9\right)}{\left(4x^2+3\right)^3}

Wenn du diese Lösung inkl. Rechenweg aber nicht wirklich brauchst, lass ihn weg, denn der Umformungsschritt ist doch etw. CAS-lastig.

0 Daumen

zum Vergleich , die Ergebnisse:

blob.png

Avatar von 121 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage