Dritte Ableitung von Ln(x^2+3/4)

Question

Kurvendiskussion: Wendepunkte:

Ableitung von f(x)= ln(x²+ 3/4)

f ' (x) =  2x / x²+ 3/4

f" (x) = -2x²+ 3/2  / (x²+ 3/4)²

f"' (x) = 8 x⁵- 4x³-15/2 / (x²+ 3/4)³

WP bei (-0,866 I 0,405)

kann jemand helfen? Ist meine Rechnung richtig?

Answer 1

nein, die 3. Ableitung lautet: \(\dfrac{64x\left(4x^2-9\right)}{\left(4x^2+3\right)^3}\)

Die 1. und 2. sind allerdings richtig.

Comments

wie kommst Du darauf?

ich rechne nach der Quotientenregel : u ' v - u v' / v²

ich erhalte im Zähler: - 4x(x²+ 3/4)² - (- 2x² + 3/2) (2 x² + 6/4) 2x

= 4 x³ + 3 x - (- 2 x²+ 3/2) (4x³ + 3x)

 = 8x⁵+ 2x³-3x -9/2x

und im Nenner:

(x²+3/4)³

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$$\left [ \dfrac{-2x^2+1.5}{(x^2+0.75)^2} \right ]'=\dfrac{-4x\cdot((x^2+0.75)^2) - (-2x^2+1.5)\cdot (4x^3+3x)}{(0.75 + x^2)^4}=\dfrac{4 x^5 - 6 x^3 - 6.75 x}{(0.75 + x^2)^4}=\dfrac{64 x (4 x^2 - 9)}{(4 x^2 + 3)^3}$$

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Bedenke aber, dass du mehr als einen WP hast!

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ich kann den Schritt von dem Bruch 4x^5....  zu 64 x nicht nachvollziehen wie kommst Du darauf?

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\( \dfrac{-4x\left(x^2+\frac{3}{4}\right)^2-(-2x^2+1.5)\cdot (4x^3+3x)}{(0.75+x^2)^4} \)
Den Zähler vereinfachen: 
\(=\dfrac{-4x\left(x^2+\frac{3}{4}\right)^2-4x\left(\frac{3}{2}-2x^2\right)\left(x^2+\frac{3}{4}\right)}{\left(x^2+\frac{3}{4}\right)^4}\)
Durch das gleiche \((x^2+0.75)\) kannst du den Bruch aufteilen\(=-\dfrac{4x}{\left(x^2+\frac{3}{4}\right)^2}-\dfrac{4x\left(\frac{3}{2}-2x^2\right)}{\left(x^2+\frac{3}{4}\right)^3}\)
bzw. 4x zusammenfassen
\(\dfrac{4(x^3-2.25x)}{(x^2+\frac{3}{4})^3}\)

\(=\dfrac{64x\left(4x^2-9\right)}{\left(4x^2+3\right)^3}\)

Oder du kommst von
\(2\left(-\dfrac{2x}{(\frac{3}{4}+x^2)^2} -2x \dfrac{2(\frac{3}{4}-x^2)}{(\frac{3}{4}+x^2)^3}\right)\\=2\left(-\dfrac{4x(\frac{3}{4}-x^2)}{(\frac{3}{4}+x^2)^3} - \dfrac{2x}{(\frac{3}{4}+x^2)^2}\right)\)
darauf.

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Bruch aufteilen bringt mich aus dem Konzept!

ich kürze durch (x²+3/4) im Zähler links und rechts vom Minuszeichen - und erhalte im Zähler (x²+3/4)³ aber woher kommt das (x²+3/4)² auf der linken Seite im Nenner?

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Also bei dem Lösungsweg würde ich eher bei dem 4x⁵ Weg bleiben...

Für den mit 64x würde ich folgenden vorschlagen:

Voraussetzung dafür ist die 2. Ableitung in Form von \(\dfrac{8(4x^2-3)}{(4x^2+3)^2}\)

Davon die Ableitung ist:
\(-\dfrac{8\left(8x\left(4x^2+3\right)^2-16x\left(4x^2-3\right)\left(4x^2+3\right)\right)}{\left(4x^2+3\right)^4}\)

Das kannst du dann umformen zu:

\(\dfrac{128x\left(4x^2-3\right)}{\left(4x^2+3\right)^3}-\dfrac{64x}{\left(4x^2+3\right)^2}\)

\(=\dfrac{64x\left(4x^2-9\right)}{\left(4x^2+3\right)^3}\)

Wenn du diese Lösung inkl. Rechenweg aber nicht wirklich brauchst, lass ihn weg, denn der Umformungsschritt ist doch etw. CAS-lastig.

Answer 2

zum Vergleich , die Ergebnisse: