Zeigen Sie: det (λIm − AB) = det (λIm − BA)

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ GLm(K), B ∈ Matm(K) und λ ∈ K. Zeigen Sie
det (λIm − AB) = det (λIm − BA)

wie zeige ich dies am besten? Danke schon im Voraus!

Comments

Vielleicht so: det(λI_m - AB) = det(A^-1)·det(λI_m - AB)·det(A)  = ...

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Danke dir vielmals!

Answer 1

$$\begin{aligned}   & \det (\lambda {{I}_{m}}-AB)=\det (\lambda A{{A}^{-1}}-AB)=\det (A(\lambda {{A}^{-1}}-B))=\det (A)\det (\lambda {{A}^{-1}}-B) \\  & =\det (\lambda {{A}^{-1}}-B)\det (A)=\det ((\lambda {{A}^{-1}}-B)A)=\det (\lambda {{I}_{m}}-BA) \\ \end{aligned}$$

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Danke, hat mir sehr geholfen!!