Drehmatrix im ℝ³ mit Lücken

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie die fehlenden Daten und berechnen Sie zur Probe det(D) und sp(D):

$$D=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} c+1 & \sqrt{2}s & c-1\\ -\sqrt{2}s & ... &-\sqrt{2}s\\c-1 & ... & ...\end{pmatrix}$$

mit s=sin(wt), c=cos(wt), w=Winkelgeschwindigkeit.

Dazu die Information, es sei ein Klingonisches ;-)  Koordinatensystem \( \vec{f}_j \), welches zu t=0 mit dem \( \vec{e}_j \) -System zusammenfällt, und von dem aus die zeitliche Veränderung der Komponenten von \( \vec{e}_j \), also die Spalten einer Drehmatrix D, beobachtet wird.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir sicher ich muss hier nur ausnutzen, dass D orthogonal sein muss und das Skalarprodukt der Spalten- bzw. Zeilenvektoren mit sich selbst 1 sein soll, um die Lücken zu bestimmen. Leider komme ich nach stunden langer Rechnerei aber auf kein brauchbares Ergebnis. Irgendwas mache ich falsch bzw. ich habe mich festgefahren. Die det(D) und sp(D) berechnen wäre kein Problem, allerdings brauche ich dazu erstmal die fehlenden Daten.

Answer 1

Insbesondere soll das Skalarprodukt des ersten Spaltenvektors mit dem dritten gleich Null sein,
also (c+1)(c-1)+2s²+(c-1)d₃₃=0. Daraus habe ich d₃₃=c+1.

Comments

Danke für deine schnelle Antwort! Mein Problem ist, genau das habe ich versucht, irgendwo verrechne ich mich anscheinend, wahrscheinlich irgendwas peinlich und total offensichtliches. Also ich habe jetzt $$d_{22}=\sqrt{1-4s^2}$$ und $$d_{23}=\sqrt{2}s$$ aber bei $$d_{33}=\frac{1-c^2-2s^2}{c-1}$$ oder $$d_{33}=\sqrt{2c-c^2-2s^2}$$ je nach Rechenweg. Für einen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar ;-)

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Tipp: s²=1-c².

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Ach ja, da stand ich aber wirklich aufm Schlauch! :-)