Matrizen und ihre Inversen

Question

Aufgabe:

(b) Für welche t ∈R ist die Matrix

invertierbar? Berechnen Sie für diesen Fall die Inverse.

Answer 1

Hallo Sniper,

mit der Sarrusregel

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus

kannst du die Determinante D der gegebenen Matrix ausrechnen:

D = t^2·(4 - t^2) .   Diese hat den Wert 0 für  t ∈ { 0, ±2 }

Für  t ∈ ℝ \ { 0, ±2 }  ist die gegebene Matrix invertierbar. 

Inverse Matrix: 

Ausgangsschema für die Berechnung:  :

⎡ 0     t     2    1  0  0 ⎤           3x3-Einheitsmatrix
⎢ t     0     0    0  1  0 ⎥
⎣ 0   2·t   t²    0  0  1 ⎦

Durch Gaußumformungen bringt man diese Teilmatrix nach vorn:

Vertausche Z1 und Z2:

⎡ t    0    0    0  1  0 ⎤                  
⎢ 0    t    2    1  0  0 ⎥  
⎣ 0  2·t   t²   0  0  1 ⎦

⎡ t   0         0      0   1   0 ⎤
⎢ 0   t         2      1   0   0 ⎥
⎣ 0   0    t² - 4   -2   0   1 ⎦  Z3 - 2*Z2

⎡ t    0      0              0          1        0        ⎤
⎢ 0    t      0        t²/(t² - 4)    0    2/(4 - t²) ⎥  Z2 - 2/(t² 4) * Z3
⎣ 0   0   t² - 4          -2          0        1        ⎦

Jede Zeile durch das Element der Hauptdagonalen  dividieren:

⎡ 1   0    0              0          1/t            0          ⎤
⎢ 0   1    0         t/(t² - 4)      0      2/(t*(4 - t²)) ⎥
⎣ 0   0    1         -2/(t²-4)      0        1/(t²- 4)    ⎦

Inverse Matrix !

Gruß Wolfgang