Nullfolge, Limes und Konvergenz

Question

Ich hab hier eine kleine Aufgabe die mir doch etwas Kopfschmerzen bereitet.

Zeigen Sie, dass für eine Folge (a_n)_n∈ℕ und eine reelle Zahl a gilt:
(a) (a_n)_n∈ℕ ist Nullfolge genau dann, wenn (|a_n|)_n∈ℕ Nullfolge ist.
(b) Ist (a_n)_n∈ℕ konvergent mit Limes a, so ist (|a_n|)_n∈ℕ konvergent mit Limes |a|. Gilt hier auch die Umkehrung?

Als Hinweis für (b) wird die Fallunterscheidung a < 0, a = 0, a > 0 gegeben.


Gäbe es hier was zu rechnen wär das wahrscheinlich kein Problem, aber leider ist dies so furchtbar Theoretisch das ich nichtmal weiß wo ich ansetzen kann.

Hoffe irgendjemand kann mir da weiterhelfen und vielleicht erläutern was genau hier zu tun ist um zu einem angemessenem Ergebnis zu kommen.

Ich danke schonmal herzlich allen Antwortenden :)

Answer 1

(a) Es gilt \(|a_n-0|<\epsilon \iff |a_n|< \epsilon \iff | \; |a_n|\; |< \epsilon\iff\)

\(\iff |\; |a_n|-0 \;|<\epsilon\)

(b) \(\lim a_n=a\Rightarrow a_n-a\) ist Nullfolge,

also auch \(|a_n-a|\). Nun gilt

\(|a_n-a|<\epsilon \Rightarrow | |a_n|-|a| |\leq |a_n-a|< \epsilon\).

Als Gegenbeispiel für die Rückrichtung nehme man \(a_n=(-1)^n\).

Comments

Eine Frage von 2013?

Von einem Nicht-mehr-Mitglied?

Respekt für dein Engagement....

---

Hallo abakus,

ich schaue immer gern nach abstrakten oder algebraischen

Aufgaben und wenn keine neuen Fragen mit diesem Schwerpunkt

existieren, kümmere ich mich um alte offene Fragen.

Als Rentner (75) kann ich mir das ja leisten ;-)

Schöne Grüße aus Hamburg
Hermann