an und bn Folgen positiver Zahlen, bn Nullfolge. Beweise: Wenn.... ist an Nullfolge.

Question

Aufgabe:

Seien \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) Folgen positiver Zahlen in \( R \) mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=0 \)

Zeige, gibt es eine Zahl \( q \in(0,1) \) mit \( a_{n+1} \leq q \cdot a_{n}+b_{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \), so gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 \).

Answer 1

Hi,
führe die Ungleichung für \( a_{N+1} \) suksessive fort dann erhältst Du die Ungleichung
$$ a_{N+1} \le q^{N+1}a_0 + q^N\sum_{k=0}^N \frac{1}{q^k} b_k $$
Die Summe musst Du aufteilen in eine Summe bis \( n_0 \) und den Rest. \( n_0 \) wird so gewählt, dass \( 0 \le b_n \le \epsilon \) für alle \( n \ge n_0 \) gilt. Danach muss man die entstehenden Summen bzgl. der Koeffizienten \( b_k \) nach oben abschätzen und die Formeln für die geometrische Reihe benutzten sowie die Tatsache benutzen das \( b_n \) eine Nullfolge ist, dann sieht man, das \( a_n \) gegen \( 0 \) konvergiert.