Induktionsbeweis - geht es auch kürzer ?

Question

Aufgabe:

Zu Zeigen dass: \( 1^{2}+2^{2}+...+ n^{2} = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \)

Problem/Ansatz:
Ich sah im Induktionsschritt (IS) lange keine Gleichheit zwischen links und rechts und so sah ich mich gezwungen den Nenner komplett aus zu multiplizieren und auf diesem Wege die Gleichheit zu zeigen.

Frage:
Kann mir jemand sagen, was ich übersehen habe oder wo der Knackpunkt gewesen ist, ich hatte ziemlich lange an dieser Aufgabe, das Bild unten ist nur eine "Reinschrift" von etwa zwei Blättern.

Bild:

Answer 1

Zu zeigen ist für den IS nur:

1/6·n·(n+1)·(2n+1)+(n+1)²=1/6·(n+1)·(n+2)·(2n+3)

Auf beiden Seitendurch n+1 teilen, dann bleibt zu zeigen:

1/6·n·(2n+1)+(n+1)=1/6·(n+2)·(2n+3)