Kern einer 5*7 Matrix bestimmen

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe besteht darin den Kern folgender Matrix zu bestimmen:

2 3    −2  11  −3  1  0
2 2      3  −1  −4  6  0
1 2      0  −1   0  0   0
4 3      2    1   2  3   4
0 10 −11   3   2  0   1

Problem/Ansatz:

Das Problem liegt darin, dass ich, wenn ich versuche das ganze in eine Zeilenstufenform zu bringen auf völlig abstruse Werte komme (Ewiglange Kommazahlen und viel zu große Brüche), bei denen ich mir nicht vorstellen kann, dass die beabsichtigt ist weil der Prof an sich Wert darauf legt, dass man alles im Kopf rechnen kann.

Googlen hat leider auch nichts gebracht.
Deswegen meine Frage:
Ist mein Ansatz direkt falsch oder ist es wahrscheinlicher, dass ich mich bei der Zeilenstufenform einfach verrechnet habe?

Wäre dankbar für jeden weiteren Ansatz :)

Answer 1

Das ist viel Tipparbeit;-)? versuch doch mal

https://www.geogebra.org/cas

A={{,,,,},{,,,,,},--,{,,,,}}

Treppennormalform( A )

dann hättest Du ein "amtliches" Ergebnis...

Comments

Danke erstmal für die Antwort :)
Ich weiß jetzt leider nicht, ob ich die Seite falsch benutze aber bei mir passiert nur folgendes (siehe Bilddatei):

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Fehlen vielleicht noch die Klammern, die A zusammenhalten?

wächter hat ganz vorn und ganz hinten doppelte geschweifte Klammern: {{  und }}

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Yep, so isses, ich inzwischen mal regex geübt und bin auf

\(\left(\begin{array}{rrrrrrr}1&0&0&0&0&\frac{379}{10}&\frac{1049}{60}\\0&1&0&0&0&-\frac{689}{30}&-\frac{1889}{180}\\0&0&1&0&0&-\frac{751}{30}&-\frac{2041}{180}\\0&0&0&1&0&-\frac{241}{30}&-\frac{631}{180}\\0&0&0&0&1&-\frac{54}{5}&-\frac{62}{15}\\\end{array}\right)\)

gekommen

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Danke nochmal :)

Sieht genau so schlimm aus, aber wird wohl richtig sein.
Daraus den Kern zu bestimmen wird sicher super.

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wenn Du den Kern bestimmt hast, magst Du ihn auch mal posten? Ich glaube, wir sitzen in der selben Vorlesung... :D

Das LGS ist ja nicht eindeutig lösbar, und ich verstehe die Sache mit den freien Indizes im Skript nicht so richtig...

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Hat leider noch nicht geklappt und ich versuch morgen früh wohl eher noch 10.3 und 10.1 wenn ich die versteh aber falls ich auf ne lösung kommen sollte für die Aufgabe und es noch nicht zu knapp vor 12 ist lad ich sie hoch

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Mit dem -1 Trick kann man den Kern einfach ablesen:

1. Matrix in strenge ZSF bringen:

$$ \left(\begin{array}{rrrrrrr}1&0&0&0&0&\frac{379}{10}&\frac{1049}{60}\\0&1&0&0&0&-\frac{689}{30}&-\frac{1889}{180}\\0&0&1&0&0&-\frac{751}{30}&-\frac{2041}{180}\\0&0&0&1&0&-\frac{241}{30}&-\frac{631}{180}\\0&0&0&0&1&-\frac{54}{5}&-\frac{62}{15}\\\end{array}\right) $$

Erledigt.

2. Falls die Matrix nicht quadratisch ist Nullzeilen streichen oder ergänzen bis die Matrix quadratisch ist. Hier also ergänzen.

$$\left(\begin{array}{rrrrrrr}1&0&0&0&0&\frac{379}{10}&\frac{1049}{60}\\0&1&0&0&0&-\frac{689}{30}&-\frac{1889}{180}\\0&0&1&0&0&-\frac{751}{30}&-\frac{2041}{180}\\0&0&0&1&0&-\frac{241}{30}&-\frac{631}{180}\\0&0&0&0&1&-\frac{54}{5}&-\frac{62}{15}\\0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0\end{array}\right)$$
3. Die Zeilen untereinander tauschen, bis die Pivot-Einser auf der Diagonalen stehen. Müssen wir aber hier nicht machen, denn das ist zum Glück schon so.

4. Die Nullen auf der Diagonalen durch -1 ersetzen:

$$\left(\begin{array}{rrrrrrr}1&0&0&0&0&\frac{379}{10}&\frac{1049}{60}\\0&1&0&0&0&-\frac{689}{30}&-\frac{1889}{180}\\0&0&1&0&0&-\frac{751}{30}&-\frac{2041}{180}\\0&0&0&1&0&-\frac{241}{30}&-\frac{631}{180}\\0&0&0&0&1&-\frac{54}{5}&-\frac{62}{15}\\0&0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&0&-1\end{array}\right)$$

5. Die Spalten mit der -1 auf der Diagonalen sind die Basisvektoren des Kerns. Fertig.

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Danke nochmal an alle die geholfen haben :)