Wahrscheinlichkeit und Verteilung

Question

Aufgabe:

Zufallsvariablen X1 und X2 seien stoachastisch unabhängig und N(20;5) bzw. N(10;12) verteilt. Bestimmen Sie für Y = X1 - X2 die Wahrscheinlichkeit P(Y < 23)

Problem/Ansatz:

Die Lösung dazu ist E(Y) = 20 - 10 = 10 sowie Var(Y) = 25 + 144 = 169. Nun steht hier, dass Y N(10;13) verteilt ist.

Wie kommt man auf diesen Wert N(10;13)? Durch die Berechnung oben.

Außerdem verstehe ich nicht die Lösung P(Y < 23) = P(Z < 1) = 0.8413, wie kommt man auf die 0.8413? Muss man dafür einfach nur in die Verteilungstabelle (Einseitige Normalverteilung) schauen bei Zeile 1, Spalte 0? Und wenn ja, wieso ist das plötzlich 1;0?

Hoffe mir kann jemand auf die Sprünge helfen. Die Lösung habe ich ja im Grund, nur den letzten Teil verstehe ich nicht.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Wie kommt man auf diesen Wert N(10;13)?

Die Summe zweier normalverteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswerten μ₁ bzw. μ₂ und Varianzen σ₁² bzw. σ₂² ist normalverteilt mit Erwartungswert μ₁ + μ₂ und Varianz σ₁² + σ₂².

Y = X₁ + (-X₂)

X₁ ist normalverteilt mit Erwartungswert 20 und Varianz 5² = 25.

-X₂ ist normalverteilt mit Erwartungswert -10 und Varianz 12² = 144.

Außerdem verstehe ich nicht die Lösung P(Y < 23) = P(Z < 1) = 0.8413

P(Y < 23) = 0.8413 bekommst du mittel Φ((23-10)/13) wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. Die Werte von Φ werden einem Taschenrechner oder einer Tabelle entnommen.

Wo das Z herkommt weiß ich auch nicht.