Quotientenregel wann dürfen Faktoren gekürzt werden?

Question

Aufgabe:

1. Ableitung bestimmen

Von

f(x)= x² / (x³ + 1)

Problem/Ansatz:

Gemäss quotientenregel

f‘(x)= (2x(x³ + 1) - (3x²)x²) / (x³ + 1)^2

Nun dachte ich, ich kürze (x³ +1)

Und erhalte (2x - 3x^4) / (x³ + 1)

In den Lösungen wird nicht gekürzt, sondern ausmultipliziert, Lösung

(-x^4+ 2x) / (x³ + 1)^2

Und ich hab mal für beide Rechnungen x= 1 gesetzt und erhalte einmal - 1/2 / einmal 1/4, offenbar falsch, aber warum, darf man so nicht kürzen oder was hab ich falsch gemacht?

Vielen Dank für Eure Hilfe:)

Comments

Du hast falsch gekürzt!

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Differenzen und Summen kürzen nur die ...

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Ja vielen Dank, dass ich diese Information schon in Erwägung gezogen habe sollte aus dem Text herausgehen, ich gebe mir Mühe so zu formulieren, dass es verständlich ist;)

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Hmm.. also ich bin aus der Schweiz und dieses Sprichwort oder es scheint mir der Beginn eines Sprichwortes, habe ich bereits auf der Seite gelesen, aber kenne es leider nicht:o..

Geht es darum dass man Summen und Differenzen nicht kürzen darf, aber ich dachte als Faktoren schon oder ist (x³+1) kein Faktor? Sorry, ich bereite mich im Selbststudium auf die Aufnahmeprüfung vor für die ETH und ich habe sonst niemanden zum Fragen.

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Liebe T.Eder,

um hier richtig zu kürzen musst du die funktion erst spalten so bekommst du

f‘(x)= (2x(x³ + 1) - (3x²)x²) / (x³ + 1)2

      =(2x(x³ + 1)/ (x³ + 1)2 - (3x²)x²) / (x³ + 1)2

nun kannst du das linke x³ + 1 mit dem (x³ + 1)2 kürzen und erhältst so:

f'(x)= 2x/ (x³ + 1) - (3x⁴) / (x³ + 1)2 was das endgültige ergebnis wäre.

Dein Fehler war es durch eine Summe zu kürzen, was nicht korrekt ist.

Deine Lösung f'(x)=(-x⁴+ 2x) / (x³ + 1)2 erhältst du dann wie von dir erwähnt durch ausmultiplizieren.

Ich hoffe ich konnte helfen.

Answer 1

Ich habe gerade fehlende Klammern in deiner Umformung ergänzt.

Halte dich an das Lösungsheft. Das macht die Umformungen vermutlich schon korrekt.

20 / 30 = 2/3         klar?

Du rechnest aber

(3*7  - 1)/(3*10)

= (7 -1 )/10

= 6/10

= 0.6

Das ist nicht 2/3 .

(3*7  - 1) ist eine Differenz und kein Produkt.

Es gilt Punkt vor Strichrechnung:

(3*7  - 1) = ((3*7)  - 1) 

Die Hauptoperation ist die Subtraktion.

Du kannst das auch so schreiben: ((3*7) + (  - 1)) 

Nun ist es eine Summe. 

Comments

Selbststudium auf die Aufnahmeprüfung vor für die ETH und ich habe sonst niemanden zum Fragen.

Da hast du dir viel vorgenommen und das erklärt deine Themenmischung in den Fragen. Hast du die Themen jemals im Theorieunterricht gehabt (Niveau Gymnasium ?) Wenn nicht: Melde dich auf dem Gymnasium und versuche ein Theorieheft von jemandem mit Schwerpunkt Mathematik zu bekommen (kopieren oder so). Kann sein, dass dir dort jemand ganz gern "Nachhilfe" gibt.

Umformen, Bruchrechen- und Potenzgesetze findest du allerdings nicht bei den Fragethemen sondern in den Unterlagen aus den Klasse 5. - 10.

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Ja, nein leider nicht, meine Theorie reichte im Sommer 2018 bis zu den linearen Funktionen und in der Geometrie bis zur Volumenberechnung einfacher Körper, aber ich denke ich komme in Anbetracht der Tatsachen gut Vorwärts, eine Freundin hat mir Bücher fürs Gymnasiumniveau gegeben und jetzt arbeite ich diese durch, ich denke in 1-2 Monaten sollte ich es haben, aber da der Zeitplan sehr eng ist und ich mich nachher vorallem mit möglichen Prüfungsaufgaben beschäftigen möchte, bin ich froh wenigstens dieses Forum gefunden zu haben.

Ich finde es nämlich sehr interessant und es macht spass und ich möchte es wirklich verstehen, so gut es eben möglich ist bis zur Prüfung. Und dann klappt das hoffentlich:)

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Alles klar und viel Erfolg !

Answer 2

(x³+1) ist im Nenner tatsächlich ein Faktor. Aber im Zähler 2x(x³-1)-3x⁴ ist es nur Faktor des ersten Summanden. Um kürzen zu können, muss ein Faktor des Nenners in jedem Summanden des Zahleres stecken (oder umgekehrt). Dannkann man ausklammern und einen Faktor des gesamten Zählers (bzw. Nenners) herstellen, der Dann kürzbar ist.

Comments

Gewaltig, vielen Dank, jetzt ist alles klar!:)