Muss man zur Ermittlung von Schnittpunkten unbedingt die Koordinatenform einer Ebene nehmen?

Question

Aufgabe:

Wenn ich drei Punkte einer Ebene gegeben habe und daraus die hessesche Normalenform ausgerechnet habe, ist es dann möglich damit den Schnittpunkt mit einer Geraden (Parameterform) zu rechnen oder muss ich die Koordinatenform der Ebene ausrechnen?
Normalerweise würde ich einfach Die Gerade in die Ebene einsetzen und das Gleichungssystem lösen und dann auf, Schnittpunkt /parallel/ identisch schließen.

Würde ich mit der hesseschen Normalenform auf das richtige Ergebnis kommen? Und wenn ja gibt es trotzdem einen Grund die normale Koordinatenform zu auszurechnen (vielleicht komplizierter?)?

Danke

Problem/Ansatz: leider kein Problemansatz

Answer 1

Würde ich mit der hesseschen Normalenform auf das richtige Ergebnis kommen?

Ja, probier es einfach mal aus.

Answer 2

du kannst es mit allen drei Formen der Ebene machen.

Für die Normalenform würde es z.B. so aussehen:

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 5\\ 5\\ 5 \end{pmatrix},\: E:\begin{pmatrix} 4\\ 5\\ 6 \end{pmatrix} \circ \left [ \vec{x} - \begin{pmatrix} -2\\ -3\\ -4 \end{pmatrix}\right ]=0\)

Du setzt nun den Term der Geraden in die Ebene ein:

\(E:\begin{pmatrix} 4\\ 5\\ 6 \end{pmatrix} \circ \left [ \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 5\\ 5\\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2\\ -3\\ -4 \end{pmatrix}\right ]=0\)

und löst dann.

Answer 3

Die Koordinatenform ist doch nichts weiter als die ausmultiplizierte und dadurch vereinfachte Normalform.

Schnittpunkte kannst du in beiden Formen ausrechnen. Ich finde es über die Koordinatenform aber deutlich einfacher.