Bestimme die Koordinatenform der Ebene, die durch die 3 Punkte gebildet wird.

Question

Aufgabe:

A(1/2/3)

B(1/2/4)

C(1/3/3)

Bestimme die Koordinatenform der Ebene, die durch die 3 Punkte gebildet wird.

Ansatz:

Ebene : X = (1 2 3) + s *(0 0 1) +t *( 0 1 0)

Koordinatenform

1+0+0=x

2+0+t=y

3+s=z

Wie soll ich jedoch jetzt die Koordinatenform finden ?

Answer 1

Bestimme einen Vektor \(\vec{n}\), der senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren der Ebene ist.

Dann ist \(\vec{AX}\) senkrecht zu \(\vec{n}\) genau dann wenn der Punkt \(X\) in der Ebene liegt.

Das heißt deren Skalaprodukt ist Null, es gilt also

        \(\vec{AX}\cdot \vec{n} = 0\).

Wegen \(\vec{AX} = \vec{OX}-\vec{OA}\) kann man die Gleichung umschreiben zu

\(\left(\vec{OX}-\vec{OA}\right)\cdot \vec{n} = 0\).

Diese Form der Ebenengleichung heißt Normalenform (der Vektor \(\vec{n}\) heißt Normalenvektor der Ebene).

Setze

        \(\vec{OA} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\, \vec{OX}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\)

und deinen berechneten Wert für \(\vec{n}\) in die Normalenform ein und rechne das Skalarprodukt aus. Dann hast du die Koordinatenform.

Answer 2

Die Koordinatenform sieht allgemein so aus:

ax+by+cz=d

Setz jetzt die Koordinaten der drei Punkte ein.

a+2b+3c=d.  (1)

a+2b+4c=d.  (2)

a+3b+3c=d.  (3)

Du hast drei Gleichungen mit vier Unbekannten, von denen eine frei gewählt werden kann, wenn sie nicht gerade Null ist.

Und so geht's:

(2)-(1) → c=0

(3)-(1) → b=0

Also a=d=1 (oder jeder andere Wert, der nicht Null ist)

Ergebnis: x=1

:-)