Der Fall keine Lösung ist unintessant. Also nehmen wir mal ein LGS Ax=b mit mindestens 1 Lösung.
Mit etwas Theorie kann man beweisen, dass für den Lösungsraum Lös(A,b)=v+Lös(A,0) mit einem passenden v gilt. Lösungsräume sind also insb, immer affine Unterräume, wenn das LGS lösbar ist. Und jetzt muss man sich einfach Überlegen wie viele Elemente so ein affiner Unterraum hat, natürlich genauso viele wie der dazugehörige Untervektorraum.
Im Fall von einer Lösung ist der zugehörige UVR einfach der Nullraum, der hat genau ein Element.
Bleibt der Fall, dass der zugehörige UVR nicht der Nullraum ist.
Wenn char(K)=0 hat K unendlich viele Elemente, der UVR ist isomorph zu einem K^n hat also auch unendlich viele Elemente.
Wenn char(K)≠0. Können wir aber nichts über die Anzahl der Elemente in K sagen, es gibt auch unendliche Körper mit endlicher Charakteristik! Aber mal angenommen K ist endlich, dann ist der UVR isomorph zu einem K^n und K^n hat in diesem Fall |K|^n Elemente.
Die Aussage aus eurer VL erscheint also etwas seltsam. Entweder du oder euer Prof hat Voraussetzungen vergessen.
