Bild der Vereinigung zweier Mengen

Question

Aufgabe:

\( f: X \rightarrow Y \)
\( M I, M 2 \subset X \)

Zeigen Sie: \( f(M1 \cup M 2)=f(M I) \cup f(M 2) \)

Meine Idee:
Sei \( x \in M 1 \cup M 2 \)
und \( y=f(x) \)
Wenn \( x \in M 1 \Rightarrow y \in f(M 1) \)
Wenn \( x \in M 2 \Rightarrow y \in f(M 2) \)
\( y \) kann also nur aus \( f(M 1) \) oder \( f(M 2) \) sein.
\( \Rightarrow y \in f(M 1) \cup f(M 2) \)
\( \Rightarrow f(M 1 \cup M 2)=f(M 1) \cup f(M 2) \)

Stimmt mein Ansatz? Ist das schon ausreichend oder wie vollende ich es?

Answer 1

Um die Gleichung von zwei Mengen A und B zu zeigen müssen wir folgendes zeigen $$A\subseteq B \ \text{ und } \ B\subseteq A$$

Wir machen also folgendes: 

Sei y ∈ f(M₁ ∪ M₂), dann gibt es ein x ∈ M₁ ∪ M₂ sodass f(x)=y. Das bedeutet dass x ∈ M_i ( i = 1  oder  i = 2 ) sodass f(x)=y. Das bedeutet dass y ∈ f(M_i). Davon folgt es dass y ∈ f(M₁) ∪ f(M₂).

So haben wir gezeigt dass $$f(M_1 \cup M_2 ) \subseteq f(M_1)\cup f(M_2)$$

Für die andere Richtung machen wir folgendes:

Sei y ∈ f(M₁) ∪ f(M₂), dann gilt es dass y ∈ f(M_i) ( i =1  oder  i=2 ). Das bedeutet dass es ein x ∈ M_i gibt sodass f(x)=y. Es gibt also ein x ∈ M₁ ∪ M₂ sodass f(x)=y. Davon folgt es dass y ∈ f(M₁ ∪ M₂).

So haben wir gezeigt dass $$f(M_1)\cup f(M_2)\subseteq f(M_1\cup M_2)$$

So folgt es dass $$f(M_1\cup M_2)=f(M_1)\cup f(M_2)$$

Answer 2

Hallo lapayo,

du hast   f (M₁ ∪ M₂ )  ⊆ f( M₁ ) ∪ f( M₂ )  gezeigt und müsstest noch f( M₁ ) ∪ f( M₂ ) ⊆  f (M₁ ∪ M₂ )  zeigen.

Es geht aber wohl auch "in einem" :

 f( M₁ ) ∪ f ( M₂ )  =  { y∈Y | es gibt x∈M₁ mit y = f(x)  oder es gibt x∈M₂ mit y = f(x) }

=  { y∈Y |   es gibt x ∈ M₁ ∪ M₂ mit  y = f(x) }  =  f ( M₁ ∪ M₂ )

 Gruß Wolfgang