Warum ist √x dasselbe wie x^(1/2)?

Question

Also ne Potenz ist ja eine abstraktion der Multiplikation.

dh.

2² = 2*2 = 4

aber wie kann man 2^(1/2), darstellen?

Irgendjemand muss ja bemerkt haben, dass √x =x^(1/2)?

Ich kann es mir nicht wirklich vorstellen, vielleicht handelt es sich hierbei ja auch einfach um ein Axiom?

Immerhin ist das Ergebnis eine irrationale Zahl (in dem genannten Beispiel).

Vielleicht gibt es ja doch jemanden der weiter weiß.

Comments

vielleicht handelt es sich hierbei ja auch einfach um ein Axiom?

Es handelt sich einfach um eine Definition.

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Hab schon eine Antwort und zwar

dh. x hoch 1/2 ist tatsächlich die Wurzel von x.

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Potenzen mit gebrochenen Exponenten werden so definiert, dass die (zunächst für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten "entdeckten" und etablierten) Potenz-Rechengesetze so weit als überhaupt möglich weiterhin gültig bleiben.

Wenn man also einfach mal aufs Geratewohl hin Terme wie etwa  2^1/2 , 8^1/3 , 4^-5/2   etc.

bastelt und damit herumspielt - und dabei die "gewohnten" Potenzgesetze als weiterhin gültig voraussetzt, dann kommt man praktisch automatisch zur Erkenntnis, wie man diese neuartigen Terme definieren müsste, dass alles passt.

Beispiel:

Für den (vorher undefinierten) Term  8^1/3  sollte, falls alles mit rechten Dingen zugehen soll, eigentlich gelten:

(8^1/3)³ =  8 ^{(1/3 · 3)} = 8¹ = 8

Wir kennen aber schon eine Zahl w , deren dritte Potenz gleich 8 ist , nämlich  w = ³√(8) = 2

Deshalb erscheint es sinnvoll, dem Term  8^1/3  den Wert  ³√(8) = 2  zuzuordnen.

Answer 1

√a= a^(1/2) ist ein allgemeines Potenzgesetz.

https://www.formelsammlung-mathe.de/potenzen.html

Answer 2

√x =x^1/2 Stell dir vor, es sei x=a^2k.Dann ist √x=√(a^2k)=√(a^k·a^k)=a^k, also gleich a^(2k)/2. Wähle jetzt k=1/2.

Answer 3

sei a≥0

 a^1/2  = √a   hat man so definiert, weil dann z. B. die Potenzgesetze  (a^m)ⁿ = a^m·n  und  a^m · aⁿ  = a ^m+n  für gebrochene Hochzahlen erhalten bleiben:

(√a)² = a   nach Definition der Wurzel

  (a^1/2)²  =  a^{1/2 · 2} =  a  

√a · √a  = a^1/2 · a^1/2 =  a^{1/2 + 1/2}  =  a¹ = a

Gruß Wolfgang