Konvergenz von Reihen

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob folgende Reihen konvergieren oder divergieren:

1. $$\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{4^{k}}{k^{4}}$$

2.$$\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{k^{4}*4^{k}} $$

Nutzen Sie Abschätzungen für die einzelnen Summanden.

Problem/Ansatz:

1.Ich würde sagen dass die erste Reihe divergiert und die zweite Reihe divergiert.

2.Da in der ersten Reihe der Zähler hoch k gerechnet wird und k endlos ist, so wird auch die Reihe ins unendliche gehen.

Da bei der zweiten Reihe nur der Nenner von k abhängt und der Zähler immer 1 bleibt, konvergiert die Reihe aufjedenfall. Wahrscheinlich gegen 1? Da wäre zum Beispiel ein Problem von mir. Ich würde sagen dass die Reihe aufjedenfall gegen die 1 konvergiert weil obwohl die Folge gegen Null geht, so wird doch trotzdem irgendwann die 1 "erreicht" oder nicht? Im gleichen Zug werden die Partialsummen allerdings immer kleiner deswegen bin ich da ziemlich verunsichert..

Sind die Antworten richtig? Und wie sieht es mit Reihen aus deren Partialsummen immer kleiner werden? Wird deren Summe trotzdem mal (in dem Fall) der 1 unendlich nah kommen?

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Vom Duplikat:

Titel: Entscheide ob folgende Reihen konvergieren oder divergieren

Stichworte: konvergenz,divergenz,reihenfolge

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob folgende Reihen konvergieren oder divergieren:

∑^∞_k=1  4^k / k⁴        (also 4^k durch k^4)

∑^∞_k=1  1/ k⁴ * 4^k   (1 durch k^4 * 4^k)

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine Ansatz da ich in der Vorlesung nicht richtig verstanden habe und im Skript auch keine Beispiele finde. :/ Kann mir jemand erklären wie ich die Grenzwerten daraus finden kann.? Vielen Dank!!

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Du musst anhand des Wurzelkriteriums oder Quotientenkriterium gucken, ob die reihe konvergiert. In diesen Fall das Wurzelkiterium (:

und ist die zweite Reihe bei  n=0 nicht schon gleich null?

Answer 1

Für alle k > 5 gilt sicherlich    4^k > k^4

also gilt für alle k > 5        4^k / k^4 > 1

und die ersten 5 Glieder geben als Summe

sicherlich einen Wert  > 0 und damit wäre die Reihe  $$\sum \limits_{n=6}^{\infty} 1 $$

eine Minorante und divergieren tut sie sicher auch..

Und bei der 2. Reihe reicht ja, dass der Faktor k^4 immer

größer oder gleich 1 ist, also ist der Nenner immer

größer oder gleich 4^k , also die Reihenglieder

immer kleiner gleich 1/4^k .  Damit ist die geometrische

Reihe mit q=1/4 eine konvergente Majorante, also

die Reihe konvergent.

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Die Lösung für die zweite Reihe habe ich verstanden. Aber für die erste leider nicht..

Die ersten 5 sind in Summe > 0, ja aber alle folgenden sind dies auch?

Also wieso muss k > 5 sein für die Minorante? Was wäre wenn ich k > 6 setzte und die Minorante bis n=7 läuft?

P.s wir hatten in den Vorlesung eigentlich nur das Majoranten sowie Cauchy-Kriterium. Kann man die erste auch mit dem Cauchy-Kriterium beantworten?

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Vom 5. Summanden an gilt sicherlich, für alle weiteren, dass

jeder von ihnen größer als 1 ist. Wenn ich also alles

nur 1en  aufaddiere, habe ich eine Summe, die kleiner

ist als die, die bei der Reihe entsteht.

Und weil bei der Überlegung ja die ersten 5 Summanden

nicht berücksichtige werden ( weil z.B. der erste   4^3 / 3^4 = 64/81

NICHT kleiner als 1 ist )  braucht man das Argument:

Deren Summe ist > 0

damit klar ist, dass durch das Weglassen dieser Summanden

die Summe jedenfalls nicht größer wird, also

die Summe mit den Einsen wirklich eine Minorante ist.

Was wäre wenn ich k > 6 setzte und die Minorante bis n=7 läuft?

Das wäre genauso gut.

Answer 2

Hallo tsukiya,

du musst eine der Konvergenzkriterien anwenden (Wurzelkriterium, Quotientenkriterium,...).

Wenn der Grenzwert dabei echt kleiner 1 ist, konvergiert die Reihe und wenn er echt größer 1 ist, divergiert sie.

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Wir hatten in der Vorlesung nur das Majorantenkriterium

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Ok. Welche divergente, bzw. konvergente Reihen kennst du aus deiner Vorlesung?

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Ich habe jetzt die Wurzelkriterium verwendet und habe entschieden dass die beiden > 1 sind, also beiden divergieren.. stimmt es so? :]

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@hallo97: geometrische Reihe, arithmetrische Reihe, harmonische Reihe

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Nein. Es divergiert nur die erste. Du sollst aber dann nur das Majoranrenkriterium verwenden, wenn ihr nur das hattet. 
Eine sehr bekannte divergente Reihe (die ihr vielleicht schon hattet) ist diese hier:
$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} $$.

Answer 3

Überprüfe auf Divergenz/Konvergenz mittels Quotienten-/Wurzelkriterium, anstatt es argumentativ zu begründen.