Thema stetige Funktionen?

Question

Aufgabe:

Es seien a, b, c, d ∈ R mit a < b und c < d.

b) Es sei f : [a, b] → [c, d] eine streng monoton wachsende stetige Funktion mit f(a) = c und f(b) = d.
Zeigen Sie, dass f bijektiv ist.

c) Zeigen Sie, dass der Mittelwertsatz der Differentialrechnung nicht allgemein für stetige (möglicherweise nicht in jedem Punkt differenzierbare) Funktionen gilt. Das heißt, dass es eine stetige Funktion
f : [a, b] → R gibt, so dass kein c ∈ [a, b] existiert, für welches f differenzierbar ist und zusätzlich

\( \frac{f(b) − f(a)}{b − a} \)  = f ' (c)

Problem/Ansatz:

Leider werden diese Aufgaben im Skript nicht gut erläutert. Im internet gibt es keine tipps und beispielaufgaben die solche Aufgaben erklären können..

Ich bitte um Hilfe :( BITTE HELFT MIR BEI DIESEN AUFGABEN :(

Answer 1

b) Zeigen Sie, dass f bijektiv ist.

I) Injektiv:  Seien u,v ∈ [a, b]  und u≠v.

1. Fall u<v . Wegen der strengen Monotonie ist also f(u) < f(v),

also jedenfalls  f(u) ≠ f(v),

2. Fall v<u  entsprechend.

II) surjektiv: Sei y ∈ [c,d] , also c ≤ y ≤  d .   Wegen des  Zwischenwertsatzes

für stetige Funktionen gibt es ein x ∈ [a, b]  mit f(x) = y.

Also f surjektiv.

c) Betrachte die Betragsfunktion auf dem Intervall [-1 ;1 ]

Die Ableitung ist -1 für x<0 und +1 für x>0

und bei 0 ist es nicht differenzierbar.

Der Quotient    ( f(-1) - f(1) ) / ( -1 - 1)  ist 0, aber

es gibt kein c mit f ' (c) = 0.

Answer 2

Hallo

 b) einfach die Stetigkeit, den Zwischenwertsatz und die Monotonie verwenden, und natürlich die Def. von bijektiv.

c) ein einfaches Gegenbeispiel ist etwa f(x)=|x|

Gruß lul

Comments

Hallo

 siehe auch https://www.mathelounge.de/607985/stetigkeit-zwischenwert-und-mittelwertsatz

lul