Definitheit einer 4x4 Matrix bestimmen

Question

Aufgabe: Die Matrix

1	0	0	1
0	1	0	1
0	0	1	1
1	1	1	1

Problem/Ansatz:  zusammen Ich rechne mit der Entwicklungsregel und entwickle 2 mal, aber beim ausmultiplizieren entstehen immer Fehler so, dass ich nicht auf die richtigen Eigenwerte komme =(

Comments

Eigenwerte zu berechnen ist nicht unbedingt notwendig. Subtrahiere die Zeilen 1,2 und 3 von der vierten und erhalte$$\begin{vmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\1&1&1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&-2\end{vmatrix}=-2.$$

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Warum willst du denn unbedingt die Eigenwerte ausrechnen?

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Damit bestimme ich die Definitheit.

positive EW -> positiv definit

negative EW -> negativ definit

positive als auch negative EW -> indefinit

das stimmt doch oder?

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Das ist meines Wissens richtig. Außerdem ist das Produkt der Eigenwerte gleich der Determinante. Wenn alle vier Eigenwerte entweder positiv oder negativ sind, muss die Determinante positiv sein. Also muss es jeweils mindestens einen positiven und einen negativen Eigenwert geben, da die Determinante negativ ist.

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Jetzt hab ich deine Rechnung gecheckt, du hast die Determinante mit dem Gauß-Verfahren errechnet :D

Answer 1

Hallo Mathematiker, du hast versucht, die Eigenwerte zu berechnen, und bist dir dabei nicht sicher.  Dann zeig bitte mal deine Rechnung.  Spacko zeigt in seinem Kommentar einen anderen Weg:  Das Gauß-Verfahren.  Siehe auch Wikipedia, Definitheit.  Was lesen wir aus dem Gauß-Verfahren für die Definitheit der Matrix ab?

Comments

Mit dem Gauß Verfahren weiß ich nicht. Ich habe Entwicklungsregeln angewandt. Habe mega Probleme bei langen Termen, die zusammenzufassen.

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Hallo Mathematiker, in deiner Rechnung sind zwei Fehler.  Erstens sind plus und minus nicht spaltenweise angeordnet, sonder schachbrettartig.  Zweitens ist die Entwicklung deiner linken 3x3 Determinante falsch.  Hier die korrekte Rechnung.  Jetzt kannst du weiterrechnen.  Kommst du auf die korrekte Lösung?

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Danke, also ausmultipliziert bekomme ich raus:

(1-lambda)³ -1 + (-1 + lambda)²

 hoffe das Stimmt

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Nein, das stimmt leider nicht.  Zeig mal bitte deinen Rechenweg.

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So? Ich glaub ich mache immer den selben Fehler

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Hallo Mathematiker, gleich in deiner ersten Zeile sind zwei Fehler.  Du hast zwei Paare von Klammern vergessen.  Richtig ist es so:
(1-la) * ((1-la) * ((1-la) * (1-la) – 1) ...

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Danke also ist das was ich ausrechnen muss so:

(1-λ)*[(1-λ)*((1-λ)*(1-λ)-1) + (0-(1-λ)] -1*[(1-λ)*(1-λ)]

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Genau!  Perfekt!

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ich bekomme das raus:

2λ²-4λ³-2+λ²+λ^4+2λ

stimmt es?

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Supi!  Das ist richtig!  Nur hast du jetzt das Problem, nach λ aufzulösen.  Besser wäre es, weiter oben (1-λ) auszuklammern.  Dann bekommst du
(1 – λ) * (...) = 0
und hast schon mal die Lösung λ₁ = 1.
Dann kannst du die rechte Klammer nullsetzen.

Danke für Beste Antwort.

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Die Lösung ist λ^4-4λ³+3λ²+2λ-2

Habe es so oft gerechnet bis ich 3 mal das Gleiche Ergebnis bekam :D

für die Eigenwerte müsste ich Polynomdivision anwenden, weil ich nicht faktorisieren kann, da nicht jeder Summand ein λ enthält oder?

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Ja.  Die erste Polynomdivision kannst du dir schon gleich sparen, wenn du meinen Rat aus dem letzten Post befolgst.

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(1-λ)*(-λ+3λ²-λ³-1) -1*(1-2λ+λ²)

boah ich bekomme es nicht hin komme nur soweit was mache ich falsch? ich gehe von Innen nach außen von der Klammer

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In deinem Post stand es so:
(1-λ)*[(1-λ)*((1-λ)*(1-λ)-1) + (0-(1-λ)] -1*[(1-λ)*(1-λ)]
Daraus machst du
(1-λ) * [(1-λ)*((1-λ)*(1-λ)-1) + (0-(1-λ))] – (1-λ) * (1-λ)
Wie klammert man jetzt wohl (1-λ) aus?

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mir kommt nur sowas in den Sinn:

(1-λ)*(1-λ)*[-\( \frac{-1-λ}{1-λ} \)]-(1-λ)²

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Falsch.  Brüche sind ganz schlecht.  Aus
(1-λ) * [(1-λ)*((1-λ)*(1-λ)-1) + (0-(1-λ))] – (1-λ) * (1-λ)
wird
(1-λ) * [(1-λ)*((1-λ)*(1-λ)-1) + (0-(1-λ)) – (1-λ)]

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Ohh danke, Klammer ausmultipliziert ergibt -2λ+λ²+2λ²-λ³

Die Nullstellen also die Eigenwerte sind: 1 ,1, 1-\( \sqrt{3} \) ,1+\( \sqrt{3} \) und 4

Negative als auch positive Eigenwerte -> die Matrix ist indefinit

Vielen Dank für deine Hilfe Roman

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Hallo Mathematiker, leider falsch.  Weder stimmt deine Gleichung
-2λ+λ²+2λ²-λ³ = 0
noch stimmen alle von dir genannten Eigenwerte.

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Ohhh Nein ich hab so viel Zeit reingesteckt trotzdem falsch? =(

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Kein Problem.  Rechne einfach nochmal nach.  Wenn du den Fehler nicht findest, kannst du mir ja deine Rechnung zeigen.  Was du brauchst, ist viel Übung.

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 Danke hab hier noch mal ausmultipliziert denke das 2te muss stimmen

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Hallo Mathematiker, herzlichen Glückwunsch, jetzt stimmt alles.  Die vier Eigenwerte sind:
1, 1, 1+wurzel(3), 1-wurzel(3)
Die Matrix ist indefinit.
Super!

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Danke für die Steinchen auf dem fließenden Bach, die ich benötigt habe um rüber zu gehen :D

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Bitte sehr, und jederzeit gerne wieder.