Gleichungen in verschiedenen Körpern

Question

 

kann mir jemand sagen

Man gebe einen Vektor v = (v1, v2, v3, v4) ∈ (|F5)⁴ an, mit v ≠ 0 aber < v, v > = 0. Dabei ist < v, v > = \( \sum\limits_{i=1}^{4}{vi^2} \) das Standardskalarprodukt.

Als Lösung kommt (3,1,0,0) bspw. raus aber wei kommt man darauf? Wie ist das F5^4 zu verstehen? Vielen Dank vorab!

PS: das i bei vi steht im Index, das F bei F5 ist ein F mit 2 Strichen (gibts hier als Symbol leider nicht)

Answer 1

Hallo

F5 ist der Körper der Restklassen mod 5,

(F5)^4 ist wie  du es bei R^4 kennst der 4 dim Raum über diesem Körper

 und <v,v>=3*3+1*1=10=0 mod 5

der Vektor (1,2,1,2) die einen und 2 en in beliebiger Reihenfolge tun es auch!

Gruß lul

Comments

Vielen Dank lul, das habe ich verstanden, klingt einleuchtend! :) 

Darf ich dich was zu einer ähnlichen Aufgabe fragen? 

Wir betrachten das Gleichungssystem: 

2x+3y = 5
x+2y = 2 

In R haben wr die Lösungen y = -1 und x = 4. Nun soll ich aber auch noch den Raum F7 betrachten, wo dann gesagt wird, dass -1 ≡ 6 ist, also die Standardrepräsentanten x = 1 und y = 6 sind. 

Den Teil mit, dass -1 ≡ 6 ist verstehe ich ja noch - einfach weil 7-1 = 6 ist aber wie kommen die auf x = 1 und y = 6? Vielen Dank vorab!