Mit Winkel 59 ein 360- Eck konstruieren

Question

Aufgabe:

Ein Winkel w heißt schön, wenn sich aus den Punkten (0,0), (0,1) und dem an der x-Achse abgetragenen Winkel w ein regelmäßiges 360-Eck unter Verwendung von Zirkel und Lineal konstruieren lässt.

A) Zeige w=59° ist schön.

B) Zeige es gibt mindestens f(90)=24 verschiedene schöne Winkel, die ganzzahlig sind und zwischen 0 und 90 liegen.

Problem/Ansatz: Zu a): ich weiß, dass ein 360 Eck konstruierbar ist, wenn der Punkt (cos(2pi/360), sin(2pi/360)) konstruierbar ist. Leider hab ich keinen Ansatz wie ich vom Winkel 59 auf diese schreibweise komme.

Ich bin dankbar für jeden Tipp oder Hilfe! Ich stehe leider auf dem Schlauch :(

Comments

Benutze den erweiterten Euklidischen Algorithmus.

Answer 1

Hallo

 60° sind leicht zu konstruieren, Radius auf dem Umfang abtragen, wenn du dann 59° dazu einträgst hast du 1°.

dasselbe mit 61° 29°,31° 46°, 44°  und wenn du 2 ° hast kannst du ja halbieren ebenso mit 4°

Gruß lul

Comments

Ah ja, das macht Sinn! :)

und wie kann ich dann bei der b) argumentieren? da müsste ich doch dann 24 winkel finden zwischen 0 und 90, die man konstruieren kann. Kann man dann damit argumentieren, dass jede reelle Zahl genau dann konstruierbar ist, wenn sie in einer endlichen 2-er-Potenz Erweiterung von Q liegt?

---

Ich glaub mein vorherige Ansatz ist falsch, wie ist es hiermit?

Sei der Winkel 2π/n komstruierbar und 2π/m der schöne Winkel. alle Winkel z•2π/n und z•2π/m sind somit konstruierbar für alle ganzen Zahlen z und somit auch deren Summe. Um Grad 1 komstrueiren zu können, muss x•2π/n + y• 2π/m = 1 gelten. D.h. der ggt(2π/n, 2π/m) =1 sein. Ist das äquivalent zu ggt(n,m)=1 und somit teilerfremd? Stimmt die Idee?

---

Du kannst 1° mit jedem Winkel erzeugen, dessen Gradzahl ganzzahlig um teilerfremd zu 360 ist.

Du kannst z.B. 7° so oft addieren, bis du irgendwann (k*360+1)° erhältst.

Bei 7° gilt z.B. 7°*103=721°=2*360°+1°.

---

Vielen Dank! Also dann nochmal:

Sei a ein schöner Winkel. Dann ist x*a-k*360=1, wobei x die notwendigen Vielfachheit beschreibt, die benötigt wird den Winkel 1 zu erzeugen und k die Anzahl der vollständigen Drehungen die x*a beschreiben. Somit muss gelten ggt(a,360)=1 und insbesondere ggt(a,90)=1 (da 90 teiler von 360). Die Anzahl dieser a wird durch f(90)=24 gegeben.

Ist das so korrekt? Oder fällt die Formel etwas zu sehr vom Himmel?