Lokale und globale Extrema von f(x) = (x^2 + 3)/(x-1)

Question

Aufgabe:

$$ f ( x ) = \frac { x ^ { 2 } + 3 } { x - 1 } $$

Problem/Ansatz:

An der Stelle x=3 hab ich nun ein lokales Minimum gefunden. In der Lösung steht jedoch das das auch ein globales Minimum ist. Wieso? Und warum gibt es keine globalen und lokalen Maxima.

Das hier folgt angeblich irgendworaus. Aber woraus?

$$ f ( x ) \geq f ( 3 ) = 6 $$

Answer 1

Das sieht so aus:

~plot~ (x^2 + 3 ) / ( x-1);[[-4|5|-10|10]] ~plot~

Wenn man es nur für x>1 betrachtet, ist bei x=3 ein lokales und auch globales

Minimum (d.h. Kein anderer Wert ist kleiner als f(3) = 6 ) also gilt

für alle x>1 dann f(x) ≥ 6

Wieso ist es global ?

weil für alle x>3 die Steigung positiv  ( f ' (x)  > 0  )

und für alle x zwischen 1 und 3 die Steigung negativ ist.

Comments

"Wenn man es nur für x>1 betrachtet, ist bei x=3 ein lokales und auch globales
Minimum"

Da aber in der geposteten Aufgabe nirgendwo steht, dass die Funktion auf x>1 beschränkt ist, halte ich deine Antwort für unseriös.

Ohne die (nicht gegebene) Einschränkung x>1 ergibt sich eben, dass es bei x=3 gerade mal ein lokales, aber keinesfalls ein globalen Minimum gibt.

Warst du jetzt nur oberflächlich, oder lässt du den Fragesteller absichtlich in Messer laufen?

Die Aussage " In der Lösung steht jedoch das das auch ein globales Minimum ist." legt zwar nahe, dass in der Originalaufgabe  vielleicht doch eine Einschränkung des Definitionsbereichs vorliegt - das solltest du dem Fragesteller fairerweise so auch übermitteln.

Letztendlich kennen wir zu Dutzenden auch falsche Musterlösungen.

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Und warum lege ich fest, das ich nur x>1 betrachte?

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Du hast gar nicht festgelegt. Das hat mathef (aus welchen Gründen auch immer) als gegeben angenommen.

Immerhin hat er dir einen Graphen mitgeliefert, der zeigt, dass das lokale Minimum an der Stelle x=3 KEIN globales Minimum ist, weil es an anderen Stellen (schau dir den Bereich für x<1 an) noch kleinere Funktionswerte gibt.