Definieren und die Stetigkeit zeigen. Unendlich viele Unstetigkeitsstellen und doch immer wieder stetig?

Question

Definiere f: |R → |R durch

\( f(x):=\left\{\begin{aligned} & 0 \text { falls } x \leq 0 \\ & 1 \text { falls } x \geq 1 \\ \frac{1}{n} \text { falls } \frac{1}{n+1} \leq x & \leq \frac{1}{n} \text { mit } n \in \text { naturlichen Zahlen } \end{aligned}\right. \)

Zeigen Sie, dass \( f \) an den Stellen \( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \) unstetig ist und in allen anderen Punkten stetig ist.

Comments

was ist den mit Stellen gemeint? f(x) oder x?

---

Stellen sind Werte auf der x-Achse.

Du kennst das vielleicht von Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen.

---

ahja :D danke^^ also hab auch einen ansatz würde gerne wissen ob es so richtig ist:

Nach Def. von Stetigkeit ε-δ

Unstetigkeit heißt: ∃ε>0 ∀δ>0 ∃x∈ℝ:(|x-x_o|<δ und |f(x)-f(x_o)|>=ε), x_o€ |R

für x>=1:

|f(x)-f(x_o)|= |1-1/x|=|(x-1)/x²| <δ/x² >=ε => δ:= min ε*x²

damit haben wir δ raus und nun:

Seien ε>0 und δ:= min ε*x². Dann gilt für alle x mit |x-1|<δ<=1:

|f(x)-f(x_o)|= |1-1/x|=|(x-1)/x²| <δ/x² >=ε

geht das irgendwie so?

---

Hallo Affenschaukel: Irgendwie schon.

 

Nur für x > 1

ist f(x) und f(x₀) immer 1, sobald x₀ nahe genug bei x liegt also ebenfalls grösser als 1 ist.

Dann ist |f(x)-f(x₀)| =0 und somit immer kleiner als eine vorgegebene positive Zahl.

Also ist die Funktion in diesem Bereich stetig.

Die Unstetigkeiten liegen alle im Bereich [0,1].

 

 

"Unstetigkeit heißt: ∃ε>0 ∀δ>0 ∃x∈ℝ:(|x-x_o|<δ und |f(x)-f(x_o)|>=ε), x_o€ |R"

Scheint mir eine etwas abenteuerliche Negation der Stetigkeitsdefinition zu sein.

Im Intervall [0.5 , 1 ] ist der Funktionswert nach Definition immer 1.

Im Intervall [1/3 , 1/2] immer 1/2.         1/2 ist eine Unstetigkeitsstelle. 

f(x₀) = 1 gilt somit für alle x ≥ 0.5 und für x < 0.5 nie mehr.

 

Nur an den gesuchten Unstetigkeitsstellen kannst du direkt f(x) = 1/x schreiben.

Was ich sagen will: ich kritisiere den gelben Ausdruck. Der ist so ähnlich nur für x=0.5 denkbar, wenn du den Grenzwert von rechts berechnest

|f(x)-f(x_o)|= |1-1/x|=|(x-1)/x²| <δ/x² >=ε => δ:= min ε*x²

|f(x)-f(0.5)|= |1- 0.5| > ε

Ich hoffe das verwirrt dich jetzt nicht noch mehr.

 

 

---

Zur Definition dieser Abbildung. Wie in meinem Lösungsvorschlag erwähnt, ist mit den Ungleich oder Gleichzeichen so gar keine Funktion definiert.

An einigen Stellen werden dem x-Wert gleich 2 y-Werte zugeordnet.

---

doch :D aber danke für die schnelle antwort :P

Answer 1

Der Graf von f besteht abschnittweise aus horizontalen Stücken.

Immer an den Grenzen dieser Stücke springt die Funktion.

Man hat dort von links einen Grenzwert, der dem Funktionswert des vorangehenden horizontalen Abschnitts entspricht. Von rechts dem des nächsten Abschnitts.

 

 

Folgerung an jeder Stelle x = 1/n ist die definierte Funktion unstetig. Sonst stetig.

Kann sein, dass das bei euch formaler sein muss. D.h., dass der Grenzwert von links und rechts noch mit Epsilon und Delta geschmückt werden sollte.