ist R reflexiv und transitiv, so gilt R* = R

Question

Aufgabe:

Ist R reflexiv und transitiv, so gilt R* = R

Problem/Ansatz:

mein Ansatz wäre wie folgt:    I ⊆ R ∧ R ; R ⊆ R => R* = R

x ∈ R* <=>

x ∈ R⁺ ∧ x ∈ I =>  weil R* = R+ ∧ I

x ∈ R⁺ ∧ x ∈ R => wegen voraussetzung I ⊆ R

x ∈ ∧ x ∈ R <=>   wegen voraussetzung R ; R ⊆ R
x ∈ R

Ist das so richtig ?

Answer 1

Das zeichen "∧" bedeutet "und". Es wird dazu verwendet, Aussagen zu verknüpfen.

R* = R+ ∧ I

Das ergibt keinen Sinn, weil I keine Aussage ist.

x ∈ R* <=> x ∈ R⁺ ∧ x ∈ I

Das ist nicht korrekt. Sei zum Beispiel R = {(n, n+1) | n ∈ ℕ} die Nachfolgerrelation auf den natürlichen Zahlen. Dann ist (1,1) ∈ R*, aber (1,1) ∉ R⁺.

Comments

R* <=>

R⁺ ∪ I =>  weil R* = R⁺ ∪ I

R⁺ ∪ R => wegen voraussetzung I ⊆ R

R ∪ R <=>  wegen voraussetzung R ; R ⊆ R
R

besser?

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Das Zeichen "⇔" bedeutet "ist äquivalent zu" und wird dazu verwendet, Aussagen zu verknüpfen.

R* <=>

Das ergibt keinen Sinn, weil R* keine Aussage ist.

Verwende stattdessen natürliche Sprache für den Beweis:

Laut Definition von R* ist R ⊂ R*. Um R* = R zu zeigen, genügt es also, R*⊂R zu zeigen.

Sei R reflexiv und transitiv. Sei (p,q) ∈ R*.

Fall 1: p = q. Dann ist (p,q) ∈ R, weil R reflexiv ist.

Fall 2: p ≠ q.

Fall 2.1: Es gibt ein r, so dass (p,r) ∈ R und (r,q) ∈ R. Dann ist (p,q) ∈ R, weil R transitiv ist.

Fall 2.2: Es gibt kein r, so dass (p,r) ∈ R und (r,q) ∈ R.

Fall 2.2.1: (p,q) ∈ R. Dann ist (p,q) ∈ R.

Fall 2.2.2: (p,q) ∉ R. Begründe, dass das ein Widerspruch zur Definition von R* darstellt, weil dann R*\{(p,q)} ebenfalls reflexiv und transitiv ist.