Berechnungen an einem aus zwei Halbkugeln zusammengesetzten Körper

Question

a) Berechne Volumen und Oberfläche dieses aus zwei Halbkugeln zusammengesetzten Körpers!

b) Diese "Doppelhalbkugel" soll eingeeschmolzen werden und daraus eine einzige Kugel gegossen werden. Wie groß wird ihr Radius?

 

Answer 1

a) Berechne Volumen und Oberfläche dieses aus zwei Halbkugeln zusammengesetzten Körpers!

V = 2/3·pi·((1.2/2)^3 + (0.95/2)^3) = 0.6768 cm^3

O = 2·pi·((1.2/2)^2 + (0.95/2)^2) + pi·((1.2/2)^2 - (0.95/2)^2) = 4.102 cm^2

b) Diese "Doppelhalbkugel" soll eingeeschmolzen werden und daraus eine einzige Kugel gegossen werden. Wie groß wird ihr Radius?

r = (3·0.6768/(4·pi))^{1/3} = 0.5447 cm

Answer 2

a)

Nun, es handelt sich um eine große Halbkugel mit Radius r₁ = 60 cm und eine kleine Halbkugel mit Radius r₂ = 47,5 cm

Das Volumen einer Kugel berechnet man aus ihrem Radius r mit der Formel:

V = ( 4 / 3 ) * π * r ³

Für das Volumen V_1/2 einer Halbkugel gilt also:

V_1/2 = ( 2 / 3 ) * π * r ³

Hier hat man nun 2 Halbkugeln mit den Radien r₁ und r₂. Deren Gesamtvolumen V_G nimmt man in der vorstehenden Formel statt r ³ die Summe aus r₁³ und r₂³, also:

V_G = ( 2 / 3 ) * π * ( r₁³ + r₂³ )

Bekannte Werte einsetzen:

= ( 2 / 3 ) * π * ( 60 ³ + 47,5 ³ )

= 676849,6 cm³

= 0,6768496 m³

 

b) Zur Berechnung des Radius r einer Vollkugel mit diesem Volumen löst man die am Anfang von Teil a) genannte Volumenformel nach r auf:

V = ( 4 / 3 ) * π * r ³

<=> r ³ = 3 * V / ( 4 * π )

<=> r = ³√ ( 3 * V / ( 4 * π )  )

und setzt für V das soeben berechnete Volumen ein. Man erhält:

r = ³√ ( 3 * 676849,6  / ( 4 * π ) ) = 54,47 cm