Ist die zur Matrix A gehörige Abbildung injektiv?

Question

Aufgabe Es sei eine 3 x 4 Matrix gegeben

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 4 \\ 3 & 4 & 9 & 6\\0 & 1 & 3 & 3 \end{pmatrix} \)

Ist die zur Matrix A gehörige Abbildung injektiv?

Sei f: ℝ⁴ → ℝ³ eine lineare Abbildung. Zeige das f nicht injektiv ist, wenn Kern (M(f) ≠ {0} (wobei M(f) die Darstellungsmatrix von f ist).

Ansatz: Bei einer ähnlichen Aufgabe galt das gegenteilige zu zeigen, nämlich dass f injektiv ist, wenn der Kern = 0. Scheinbar ist das keine allgemeingültige Aussage. https://www.mathelounge.de/610948/abbildung-r-n-in-r-n-injektiv-wenn-kern-m-f-0

Comments

Ist die zur A gehörige Matrix injektiv?

Was ist gemeint?

Die Matrix selbst heisst A.

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Habe es geändert zu

Ist die zur A gehörige Abbildung injektiv?

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Das macht Sinn.

Kannst du das gleich noch in der Überschrift korrigieren.

Z.B. zu

Ist die zur Matrix A gehörige Abbildung injektiv?

@Marceline: Wenn du zwei Elemente von R^4 findest, die auf dasselbe Element von R^3 abgebildet werden, bist du fertig. 
Hast du denn den Kern der Abbildung bereits?

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Ich komme auf ein LGS mit

v1 = v3 + 2 v4

v2 = -3 v3 - 3v4

v3 = 0

v4 = 0

Weiter kann ich's nicht lösen. Soll ich dann sagen

Kern = (v3 + 2v4, -3 v3 - 3v4, 0, 0)?

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v1 = v3 + 2 v4

v2 = -3 v3 - 3v4

v3 = 0

v4 = 0

Hier hast du vermutlich etwas falsch verstanden.

Wenn v3=0 und v4 = 0, dann gilt automatisch auch v1 = v2 = 0, dann

v1 = v3 + 2 v4 = 0 + 2*0 = 0

v2 = -3 v3 - 3v4 = -3*0 - 3 *0 = 0

Das würde ja heissen, dass der Kern nur aus dem Nullvektor besteht. Das ist hier sicher nicht der Fall.

Vielleicht zeigst du Wolfgang einmal, wie du den Kern berechnet hast. (Alle Schritte!). Wolfgang sieht dann sicher sofort, wo du etwas falsch machst.

Answer 1

Weiter kann ich's nicht lösen. Soll ich dann sagen

Kern = (v3 + 2v4, -3 v3 - 3v4, 0, 0)?

Dann ist, wenn du richtig gerechnet hast, der Vektor a = (1, - 3, 0, 0) ein Element des Kerns.

Rechne zur Kontrolle A * a = ? . Resultat müsste der Nullvektor sein.

Stimmt das?

Wenn ja kannst du zwei Vektoren angeben, die die gleichen Bildvektoren haben.

b = (1,0,0,0)         , beliebig gewählt.

c = a + b = (2, -3, 0, 0)

Berechne A * b = ? und A * c = ?

Es sollte A * b = A * c gelten. Damit ist die Injektivität widerlegt.

Comments

Danke für die Antwort, aber wenn

v1 = v3 + 2v4

und der Vektor (1,-3,,0,0) des Kerns wäre, dann würde ja gelten

v1 = v3 + 2 v4

1 = 0 + 2 * 0

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Ist dein

Kern = (v3 + 2v4, -3 v3 - 3v4, 0, 0)

nun der Kern der Abbildung oder nicht?

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wenn ich A mit (1,- 3,0,0) multipliziere, kommt da (-5,-9,-3) raus und nicht der nullvektor. TR, wie bist du überhaupt auf die Zahlen gekommen.

Ich denke schon, dass mein Kern = v3 + 2v4, - 3v3 - 3v4, 0, 0) Teil der Abbildung ist, weil er erfüllt ja das LGS. Es ist halt nur noch die eleganteste Form. :(

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TR, wie bist du überhaupt auf die Zahlen gekommen.

Ich habe in deinem angeblichen Kern Zahlen eingesetzt. v3 = 1 und v4 = 0.

Du kannst das natürlich auch allgemeiner machen und direkt (v3 + 2v4, - 3v3 - 3v4, 0, 0) einsetzen. Aber da wird dann genauso wenig der Nullvektor herauskommen, weil dein Kern nicht stimmt.

Answer 2

Hallo Marceline,

Bei einer ähnlichen Aufgabe galt das gegenteilige zu zeigen, nämlich dass f injektiv ist, wenn der Kern = 0. Scheinbar ist das keine allgemeingültige Aussage. https://www.mathelounge.de/610948/abbildung-r-n-in-r-n-injektiv-wenn

Die in dieser Antwort von mir gezeigte Aussage

Kern(f) = 0  ⇒  f injektiv  ist  allgemeingültig.

Die Kontraposition dieser Wenn-dann-Aussage ist

f nicht injektiv  ⇒  Kern(f) ≠ 0    (also das, was du hier zeigen sollst!)

Die Kontraposition einer solchen Wenn-dann- Aussage ist aber zur Aussage selbst äquivalent und Letztere wurde ja in der o.g. Antwort gezeigt.

Deshalb ist auch " f nicht injektiv  ⇒  Kern(f) ≠ 0 "  wahr und du musst eigentlich gar nichts mehr zeigen :-)

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Der Kern deiner Matrix ist die allgemeine Lösung der Gleichung ( des LGS)

                            
⎡ 1  2  5  4  ⎤       
⎢ 3  4  9  6  ⎥ ·  •   (w , x, y, z)^T  =  (0, 0, 0)^T
⎣ 0  1  3  3  ⎦

         L  =  Kern(f)   =    { ( w , 3z-3w , -2z+w , z )^T  |  w,x,y,z,∈ ℝ } 

und enthält offensichtlich nicht nur den Nullvektor →  f ist nicht injektiv

Gruß Wolfgang

Comments

danke frür die Antwort, Wolfgang!

Das Ergebnis von A * a ist (0, 0, 0)^T  ? Wieso nur drei 0en? Fehlt da ausversehen eine 0 und es müsste eigentlich (0, 0, 0, 0)^T sein?

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@Marceline: Du weisst, wie man Matrizen mit Vektoren multiplizert. Mache das einfach einmal und schaue, wieviele und welche Komponenten der resultierende Vektor hat.

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m,r Zeilenzahlen, n,s Spaltenzahlen

mxn-Matrix • rxs-Matrix

Das Produkt ist definiert, wenn n = r  gilt

Das Ergebnis ist eine mxs- Matrix

3x4-Matrix • 4x1-Matrix (Vektor)  ergibt eine 3x1-Matrix (Vektor)

(Hier ist m=3, n=4 , r =4 , s=1 , beachte das in der Antwort die beiden Vektoren transponiert sind, also Spaltenvektoren darstellen!)

Vgl. auch:  Sei f: ℝ⁴ → ℝ³