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Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die beiden Sprecher aus einer Klasse sind
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die beiden Sprecher aus einer Klasse sind, müssen wir uns zunächst die Gesamtsituation vor Augen führen.
Es gibt 6 Parallelklassen, aus denen jeweils ein Junge und ein Mädchen ausgewählt werden. Das bedeutet, wir haben insgesamt \(6 \times 2 = 12\) Schüler.
Teilaufgabe a) Die beiden Sprecher aus einer Klasse sind
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beide Sprecher aus der gleichen Klasse kommen, müssen wir zuerst überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei Sprecher aus der Gesamtgruppe von 12 Personen zu wählen. Dies kann mit der Kombinatorik berechnet werden:
Die Anzahl der Möglichkeiten, 2 Personen aus 12 zu wählen, ist \(C(12, 2)\), wobei \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) die Formel für die Kombination ohne Wiederholung ist.
\(C(12,2) = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66\)
Also gibt es 66 verschiedene Möglichkeiten, zwei Sprecher aus allen Schülerinnen und Schülern auszuwählen.
Um zu berechnen, wie viele dieser Kombinationen Schüler aus derselben Klasse beinhalten, müssen wir überlegen, dass es für jede der 6 Klassen \(C(2, 2)\) Möglichkeiten gibt, zwei Personen auszuwählen, da in jeder Klasse genau ein Junge und ein Mädchen ist und beide gewählt werden müssen, um die Bedingung zu erfüllen. Also:
\(C(2, 2) = \frac{2!}{2!(2-2)!} = 1\)
Da es 6 Klassen gibt und aus jeder Klasse nur 1 Möglichkeit besteht, die beiden Sprecher zu wählen (das Mädchen und den Jungen aus der gleichen Klasse), ist die Anzahl der günstigen Kombinationen:
\(6 \times 1 = 6\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Sprecher aus einer Klasse sind, ist somit:
\(P(A) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Kombinationen}}{\text{Anzahl der möglichen Kombinationen}} = \frac{6}{66} = \frac{1}{11}\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Sprecher aus einer Klasse sind, beträgt \(\frac{1}{11}\).
Teilaufgabe b) Ein Junge und ein Mädchen gewählt werden
Da aus jeder Klasse genau ein Junge und ein Mädchen ausgewählt werden und die Frage nicht nach einer bestimmten Auswahl fragt, ist die Wahrscheinlichkeit hierfür 1. Unabhängig davon, welches Paar als Sprecher ausgewählt wird, besteht es immer aus einem Jungen und einem Mädchen.
Teilaufgabe c) Die beiden Sprecher von gleichem Geschlecht sind
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen des gleichen Geschlechts gewählt werden, ist 0, da nach der Voraussetzung aus jeder Klasse ein Junge und ein Mädchen ausgewählt wird und die Sprecher immer aus einem Jungen und einem Mädchen bestehen.
