Erwartungswert gesucht mal anders

Question

Aufgabe:

Die Frage ist mir fast schon peinlich... :D 

Ein Klub besteht aus 4 Frauen und 5 Männern. Zu einem Empfang sind 2 Personen auszuwählen, wobei die Entscheidung durch Verlosung erfolgt, da jedes Klubmitglied die gleiche Chance haben soll.

Die Zufallsvariable x sei Anzahl der Frauen in der Delegation. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion von x.

Jetzt zur eigentlichen Frage:

Bereichen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von x.

Problem/Ansatz:

Ich hätte es ganz normal mit n * p (mü) versucht, aber ich komme nicht auf die Lösung. Ich verwende vermutlich entweder ein falsches n oder p.

Lösung: 8/9

Comments

"Ich hätte es ganz normal mit n * p (mü) versucht,"

Das ist nicht ganz normal. Das ist schlimm.
In welcher Phase deiner Schulzeit hat sich die falsche "Erkenntnis" festgesetzt, dass der Erwartungswert einer Zufallsgröße "n mal p" ist?

Das gilt NUR bei binomial verteilten Zufallsgrößen.

Answer 1

Die Wahrscheinlichkeit für "genau eine Frau" berechnet sich mittels der hypergeometrischen Verteilung:$$P(X=1)=\frac{\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 9 \\ 2 \end{pmatrix}}=\frac{5}{9}$$ Für "genau 2 Frauen" analog:$$P(X=2)=\frac{\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 9 \\ 2 \end{pmatrix}}=\frac{1}{6}$$ Der Erwartungswert ist definiert durch \(\mu_{X} = \mathrm{E}(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)\) Deswegen:$$E(X)=1\cdot \frac{5}{9}+2\cdot \frac{1}{6}=\frac{8}{9}$$ Mit dem Verschiebungssatz für diskrete Zufallsvariablen lässt sich die Varianz und somit auch die Standardabweichung leicht berechnen. Es gilt$$\begin{aligned} \sigma^2_{X} = \mathrm{Var}(X) &= \mathrm{E}(X^2) - (\mathrm{E}(X))^2\\ &= \sum_i x_i^2 \cdot P(X = x_i) - (\mathrm{E}(X))^2 \end{aligned}$$Also:$$\sigma^2=1^2\cdot \frac{5}{9}+2^2\cdot \frac{1}{6}-\left(\frac{8}{9}\right)^2=\frac{35}{81}$$ Und deswegen ist \(\sigma=\sqrt{\frac{35}{81}}=\frac{\sqrt{35}}{9}\)

Comments

Super danke dir.

Ich stand da total auf der Leitung, bin einfach viel zu stark auf die Binomial + Normalverteilung fixiert. ;)

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Gern geschehen! Die "Hypergeometrische Verteilung" ist eine wirkliche Allzweckwaffe! :)