Vollständige Induktion: Produktzeichen gleich Summenzeichen

Question

Aufgabe:

$$\prod_{k=2}^{n}\left(\frac{k+1}{k-1}\right)^{2}=\sum_{k=1}^{n} k^{3}, \text { für alle } n \geq 2 $$

Moin zusammen,

hat jemand lust diesen Ausdruck per vollständiger Induktion zu beweisen?

Ich laufe da gegen eine Wand nach der anderen und verwirre euch am besten gar nicht erst

mit meinen Ansätzen.

Induktionen mit entweder Produktzeichen oder Summenzeichen sind in der Regel kein allzu großes
Problem für mich aber das hier ist mir einer zu viel.

Answer 1

Hallo Leonardo,

das ist tatsächlich nicht so einfach. Man kann folgendes machen: beide Ausdrücke lassen sich als $$ \dots = \frac 14 n^2(n+1)^2$$ darstellen. Induktionsanfang  schaffst Du allein. Ansonsten einfach wie gewohnt vorgehen:$$\begin{aligned}  \prod_{k=2}^{n}\left(\frac{k+1}{k-1}\right)^{2} &= \frac 14n^2 (n+1)^2 && \forall\, n \ge 2 \\ \prod_{k=2}^{n+1}\left(\frac{k+1}{k-1}\right)^{2}  &= \prod_{k=2}^{n}\left(\frac{k+1}{k-1}\right)^{2} \cdot \left(\frac{n+2}{n}\right)^{2} \\ &=  \left( \frac 14n^2 (n+1)^2 \right) \cdot \left(\frac{n+2}{n}\right)^{2}  \\ &= \frac 14 (n+1)^2 (n+2)^2 && \text{q.e.d.}\end{aligned}$$

Und der zweite Ausdruck ist genauso groß:$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} k^3 &= \frac 14n^2 (n+1)^2 \\ \sum_{k=1}^{n+1} k^3 &= \sum_{k=1}^{n} k^3 \space + (n+1)^3 \\ &= \frac 14n^2 (n+1)^2 + (n+1)^3 \\ &= \frac 14 (n+1)^2(n^2 + 4(n+1)) \\ &= \frac 14 (n+1)^2 (n+2)^2 && \text{q.e.d.}\end{aligned}$$also muss auch gelten:$$\prod_{k=2}^{n}\left(\frac{k+1}{k-1}\right)^{2}=\sum_{k=1}^{n} k^{3}, \text { für alle } n \geq 2$$Gruß Werner

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort, das hilft mir sehr.

Eine Frage hätte ich dennoch: wie formst du den Summenteil zu besagtem Ausdruck 1/4 n^2 .... um? Oder geht das aus der Induktionsvoraussetzung hervor wenn ich es für den Produktteil gezeigt habe?

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wie formst du den Summenteil zu besagtem Ausdruck 1/4 n2 .... um?

Hmm! - ich weiß nicht genau was Du meinst. Dieser Term: $$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac 14n^2 (n+1)^2$$ist zunächst nur eine Annahme, die im folgenden mittels 'vollständiger Induktion' bewiesen wird.

In meiner Antwort stehen zwei Beweise mittels 'vollständiger Induktion'. Es wird für jeden(!) Term bewiesen, dass er identisch zu \(n^2 (n+1)^2/4\) ist. Und folglich sind sie beide gleich.

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Nochmal Vielen Dank,

hab das heute in aller Frische endgültig verstanden, gestern Nacht fiel das denken noch zu schwer.