Nullstellen der Funktion f(x)=8x^3 -2x+5

Question

Aufgabe:

Nullstellen der Funktion f(x)=8x^3 -2x+5 berechnen

Problem/Ansatz:

Man kann diese Funktion nicht in die Normalform bringen, um eine pq-Formel zu benutzen

Comments

Aus welchem Stoffzusammenhang stammt denn die Aufgabe? Im allgemeinen wird man wohl einen Taschenrechner benutzen, der so etwas – numerisch oder algebraisch – kann. Hier meine Nullstelle: $$x = -\dfrac{\sqrt[3\:]{90-2\cdot\sqrt{2013}}+\sqrt[3\:]{90+2\cdot\sqrt{2013}}}{\sqrt[3\:]{288}}$$

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meine Nullstelle

Du materialistischer Hedonist! :-D

Answer 1

prinzipiell würde ich dir die Polynomdivision empfehlen. Da du allerdings nur eine Nullstelle hast, die auch noch irrational ist, so würde ich z.B. zum  Newtonverfahren greifen, um sie numerisch zu approximieren.

Comments

Vielen Dank!

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http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html

Answer 2

du kommst ohne numiersches Verfahren mit Vieta aus. Dividiere durch \(\div 8\) und erhalte \(x^3-0.25x+0.625=0\) Substituiere \(x:=w-\frac{p}{3w}\).Daraus folgt:$$w^3-\frac{(-0.25)^3}{27w^3}+0.625=0 \quad |\cdot w^3$$$$w^6+0.625w^3+\frac{1}{1728}=0$$ Substituiere \(w^3:=u\) und erhalte:$$u^2+0.625u+\frac{1}{1728}=0$$ Löse folgende Gleichung vermöge der pq-Formel und resubsubstituiere zwei Mal.

Comments

Statt durch 8 zu teilen, kann man hier auch die Substitution z:=2x vorschalten und dann das übersichtlichere Polynom z^3-z+5 betrachten.

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Wir denken nur, wenn wir mit Problemen konfrontiert werden! Einfacher ist es aber in der Tat.

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Ich geb mal einen Daumen. Könntest du der Vollständigkeit halber noch einen Namen dieses Lösungsverfahrens nachreichen?

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Un immer wieder bin ich überrascht, dass selbst die Besten davon nichts wissen:

http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln#Die_Cardanische_Formel_zur_Aufl%C3%B6sung_der_reduzierten_Form_z%C2%B3_+_pz_+_q_=_0

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Die Cardanischen Formeln kannte ich und ich kannte auch die andere Substitution. Nur ich kannte den Namen nicht und bei Wikipedia hatte ich das nicht gefunden. Vielleicht sollte da mal jemand einen Artikel schreiben.

Answer 3

Benutze ein Näherungsverfahren.

Es gibt keine ganzzahligen Nullstellen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=8x3+-2x%2B5%3D0

PS:

Alternativ: Cardano-Formel