n-te Ableitung von x^a (wobei a natürliche Zahl ist ) explizit angeben

Question

Was bisher geschah...

$$ f(x)=x^{a}=f^{(0)}(x), f^{(1)}(x)=ax^{a-1},f^{(2)}(x)=a(a-1)x^{a-2},\\f^{(3)}(x)=a(a-1)(a-2)x^{a-3},...,\\f^{n}(x)=f^{n-1}(x)\cdot(a-(n-1))\cdot x^{-1}\quad \text{für}\quad x\neq 0 $$

Die rekursive Formel stammt von mir, könnte also durchaus falsch sein. Falls das so ist, bitte Bescheid sagen :)

Ich würde gerne f⁽ⁿ⁾(x) explizit angeben, hat jemand eine Idee?

 

Answer 1

\(f^{(n)}(x) = \begin{cases} \frac{a!}{(a-n)!} x^{a-n} & \text{falls } a\in\mathbb{N} \wedge n\leq a \\ 0 & \text{falls }  a \in \mathbb{N} \wedge n \gt a \\ a^{\underline{n}} x^{a-n} & \text{falls } a \notin \mathbb{N} \\ \end{cases}\)

Dabei ist

        \(k! := 1\cdot2\cdot\dots \cdot k\)

und wird "\(k\) Fakultät" ausgesprochen. Außerdem ist

        \(p^{\underline{k}} := p\cdot (p-1)\cdot \dots\cdot (p-k+1)\).

Comments

$$ p^{\underline{k}} := p\cdot (p-1)\cdot \dots\cdot (p-k+1) $$

Hast du das so definiert, oder wird dieser Ausdruck im Allgemeinen so verwendet?

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wikipedia://Fallende_und_steigende_Faktorielle

Answer 2

Ich würde gerne f⁽ⁿ⁾(x) explizit angeben, hat jemand eine Idee?

f(x) = x^a mit a∈ℕ

Wie wäre es mit

f⁽ⁿ⁾(x) = a! / (a-n)! * x^a-n  für a≥n und 0 sonst.