Wurzelgleichungen und Nullstellen von Polynomen

Question

Erstmal möchte ich mich bedanken bei allen, die mir immer so auskunftsreich antworten. Dann wäre es toll, wenn ihr mir weiterhin helfen könntet.

1. Löse die Wurzelgleichungen gib jeweils die Lösungsmenge an:

$$\begin{array}{l}{\text { a) } \sqrt{x-1}=x-7} \\ {\text { b) } 2 \cdot \sqrt{2 x+3}-4=2 x-4} \\ {\text { c) } \sqrt{13-x}+2 \cdot \sqrt{x+7}=1}\end{array}$$

2. Löse die Gleichungen (eine davon numerisch):

$$\begin{array}{l}{\text { a) } \quad 3 x^{4}+6 x^{2}=189} \\ {\text { b) } 2 x^{5}+4 x^{4}+2 x^{3}=0} \\ {\text { c) } x^{3}-6 x^{2}+11 x-6=0}\end{array}$$

Answer 1

zu 1.b) Division der Gleichung durch 2 und anschließende Addition von 2 führt zu

√(2x+3)=x quadrieren führt zu

2x+3=x² quadratische Gleichung mit den Lösungen x=3 und x=-1

Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, beide Lösungen einsetzen in √(2x+3)=x

x=-1 besteht die Probe nicht. Einzige Lösung ist x=3

Comments

Zu 2.b) 2x³ ausklammern:

2x³·(x²+2x+1)=0 Binom erkennen

2x³(x+1)²=0 Satz vom Nullprodukt

x=0 oder x=-1

Answer 2

1. a)  quadrieren gibt

              x-1 = (x-7)^2

          gibt x=10 oder x=5

ABER: Bei wegen des Quadrierens immer die

Probe machen zeigt: Nur 10 ist wirklich eine Lösung.

b) so umformen, dass die Wurzel allein auf

einer Seite steht und dann quadrieren.

c) quadrieren gibt

13-x + 2*√(13-x)*2*√(x+7) + 4*(x+7) = 1

umformen zu 4*√(13-x)*√(x+7) = -3x-40

und nochmal quadrieren gibt

16*(13-x)*(x+7)=(3x+40)^2

das hat die Lösungen ungefähr -1,3 und ungefähr -4,6

die beide offenbar nicht stimmen.

Answer 3

a)

√(x-1)=x-7 |(..)^2

x-1=(x-7)^2

x-1=x^2 -14x +49

x^2 -15x +50 =0 ->pq-Formel

x_1.2= 15/2 ± √ (225/4 -50)

x_1.2= 15/2 ± 5/2

x₁= 10(ist die Lösung)

x₂= 5

Gemäß Probe ist nur 10 die Lösung.