Extremwertaufgabe Ingenieurmathematik 1

Question

Aufgabe:

Die beiden durch die Gleichungen y²  = x und y² =   -2(x-2)   gebenen Parabeln

beranden mit der x-Achse für y>0 ein Flächenstück (im ersten Quadranten), dem ein mit
einer Seite auf der x-Achse liegendes Rechteck größten Umfangs einbeschrieben werden
soll. Bestimmen Sie die Eckpunkte dieses Rechtecks.

Problem/Ansatz:

Hallo liebe Leute, ich habe folgendes Problem. Ich habe die beiden Gleichungen gleichgesetzt und für x = 4/3 erhalten.

Dies ist ja der Schnittpunkt der beiden Funktionen.

Nun weiß ich aber nicht wie ich weitermachen soll.

Ich könnte die beiden Funktionen integrieren ( einmal von 0 bis 4/3 für die erste Funktion und einmal von 4/3 bis 2 für die nächste Funktion) und ich glaube auch dass ich das machen muss. Allerdings verstehe ich den Zusammenhang nicht und mir wäre auch nicht klar wie ich anschließend weitermachen soll um an die Eckpunkte zu gelangen.

Ich hoffe und bitte um schnelle und ausführliche Hilfe.

Lg

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Genau, soweit bin ich auch schon.

Ich habe für die Begrenzungen durch die Funktionen links und rechts einmal 0 und einmal 2.

Der Schnittpunkt der beiden Funktionen liegt ja wie gesagt bei 4/3 und der zugehörige y-Wert ist dann \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \).

Allerdings verstehe ich immernoch nicht, wie ich weiter verfahren soll.

Muss ich eine Zielfunktion aufstellen bei der es sich irgendwie um eine Funktion für den Umfang handelt?

Answer 1

Die beiden durch die Gleichungen y^2  = x und y^2 =  -2(x-2)  gebenen Parabeln

Als ersten Schritt würde ich dir vorschlagen zunächst eine kleine Skizze anzufertigen.

Es könnte nützlich sein die x- und y-Achse später zu vertauschen.

Comments

Wie ist das mit dem x und y Achse vertauschen gemeint?

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Tja. Was könnte damit gemeint sein.

~plot~ x^2;2-0.5x^2;x=1/3;1/9;35/18;[[0|4|0|3]] ~plot~

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Ich glaube mein Problem ist, dass ich nicht verstehe, wie ich an so eine Aufgabe allgemein herangehen kann.

Bzw. was für Handwerkszeug ich für diese Aufgabe brauche.

Ein Bekannter meinte ich solle mal probieren eine Umfangsfunktion aus den beiden gegebenen Funktionen zu kreieren. Diese dann ableiten um den Hochpunkt der Umfangsfunktion zu bestimmen.

Macht das Sinn?

Mir fehlt einfach der Zusammenhang des Ganzen.

Ich würde mich um einen kleinen Tipp bzw. einen Ansatz freuen, welcher mir weiterhilft und um eine eventuelle Antwort auf die oben beschriebene Herangehensweise meines Bekannten.

Lg

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Wie gesagt. Mache dir selber mal eine Skizze. Im Anschluss vertauscht du mal die x und die y-Achse. D.h. die x-Achse zeigt nach oben und die y-Achse nach rechts. Dann sollte es so aussehen wie in meiner Skizze. Dann zeichnest du mal das Rechteck ein. Ausgerechnet und eingezeichnet habe ich es auch schon. Allerdings sollst du es nachvollziehen und nachrechnen.

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So... jetzt habe ich die Umfangsfunktion (hoffentlich richtig)....aber wie verfahre ich weiter?

Bitte um verständliche Erklärung warum und wie es weitergeht...

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Ja. Die Umfangfunktion ist richtig.

Also nun noch Ableitung bilden und diese gleich Null setzen. Das ist ja eine Notwendige Bedingung für ein Maximum. Bei der nach unten geöffneten Parabel ist es auch ein Maximum und kein Minimum.

Du bekommst für y dann wohl 1/3 heraus oder?

Answer 2

y^2  = x und y^2 =  -2(x-2) 

Hier die Skizze

Vorgehensweise
Du siehst y als freie Variable an.
und bestimmt die Schnittpunkte mit den Funktionen.
x = y^2
und
x = 2 - y^2 / 2
Δ x ( obere Breite des Rechtecks ) = ( 2 - y^2 / 2 ) - y^2
Δ x = 2 - 3 / 2 * y^2

Der Umfang des Rechtecks ist
U ( y ) = 2*y + 2 * ( 2 - 3 / 2 * y^2 )
1.Ableitung bilden
U ´( y ) = 2 + 6 * y
Extremwert
2 + 6 * y = 0
y = 1/3

Answer 3

Das ist die Situation. Notiere dazu Breite und Höhe des Rechtecks.

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Genau, soweit bin ich auch schon.

Ich habe für die Begrenzungen durch die Funktionen links und rechts einmal 0 und einmal 2.

Der Schnittpunkt der beiden Funktionen liegt ja wie gesagt bei 4/3 und der zugehörige y-Wert ist dann \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \) .

Allerdings verstehe ich immernoch nicht, wie ich weiter verfahren soll.

Muss ich eine Zielfunktion aufstellen bei der es sich irgendwie um eine Funktion für den Umfang handelt?

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Nun könnte man zum Beispiel mit \((x\vert 0)\) den unteren linken Eckpunkt des Rechtecks bezeichnen.

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Ja genau.

Somit müsste ich ebenfalls für den unten rechts liegenden Eckpunkt (x+\( \frac{4}{3} \)/0) erhalten oder?

Aber ist das Ziel dieser Aufgabe nicht eigentlich über die Differential- und oder Integralrechnung an die Lösung zu gelangen?