Thema: Vektorräume mit einem inneren Produkt
Da du ja nicht zeigen musst, dass so ein inneres Produkt definiert werden
kann, sondern nur dass M ein Orthogonalsystem ist, musst du das
einfach nachrechnen, dass für alle f,g aus M gilt
f≠g ==> (f,g)=0
Dazu rechnest du das Integral aus. Eine Stammfunktion von
sin(ax)*sin(bx) ist sin(x*(a-b)) / (2(a-b) - sin(x*(a+b)) / (2(a+b) #
( jedenfalls für a≠b).
Sind also f,g aus M mit f≠g , existieren n und m aus ℕ mit
n≠m und f=sin(n*pi*x/2) und g=sin(m*i*x/2) also musst du in #
a=n*pi/2 und b=m*pi/2 einsetzen und bekommst dann für
(a-b) = (n-m)*pi/2 und für (a+b) = (n+m)*pi/2
Dann ist das Integral von -2 bis 2 über f(x)*g(x) dx
= sin(x* (n-m)*pi/2 ) / (n-m)*pi - sin(x* (n+m)*pi/2 ) / (n+m)*pi
in den Grenzen von -2 bis 2 also =
sin(2* (n-m)*pi/2 ) / (n-m)*pi - sin(-2* (n+m)*pi/2 ) / (n+m)*pi
- ( sin(2* (n-m)*pi/2 ) / (n-m)*pi - sin(-2* (n+m)*pi/2 ) / (n+m)*pi )
Die 2-en kürzen sich und bei den ganzzahligen Vielfachen von pi ist der
sin immer 0, also ist das Integral immer gleich 0. q.e.d.
Wenn a und b gleich sind, ist die Formel # nat. nicht richtig, da ist eine
Stammfunktion für sin(ax)*sin(ax) dann
x/2 - sin(ax)*cos(ax)/(2a) also ist etwa für f(x) = f=sin(n*pi*x/2)
das Integral von -2 bis 2 über f(x)*f(x) dx
= x/2 - sin(x*n*pi/2)*cos(x*n*pi/2)/(2*n*pi/2)
in den Grenzen von -2 bis 2
= 2/2 - sin(2*n*pi/2)*cos(2*n*pi/2)/(n*pi)
- ( -2/2 - sin(-2*n*pi/2)*cos(-2*n*pi/2)/(n*pi) )
= 1 - sin(n*pi)*cos(n*pi)/(n*pi) - ( -1 - sin(-n*pi)*cos(-n*pi)/(n*pi) )
= 1 - sin(n*pi)*cos(n*pi)/(n*pi) + 1 + sin(-n*pi)*cos(-n*pi)/(n*pi) )
= 2 - sin(n*pi)*cos(n*pi)/(n*pi) + sin(-n*pi)*cos(-n*pi)/(n*pi) )
und sin(n*pi) und sin(-n*pi) sind wieder 0, also ist das Ergebnis
dann 2.
