Exponentialgleichung 0,5^2x - 0,5^-3 = 0,5^x-4

Question

Aufgabe:

0,5^2x - 0,5^-3 = 0,5^x-4

Problem/Ansatz:

Lösung ist -2.

Comments

Ich erhalte weder für 0.5^2x-0.5^-3=0.5^x-4 , noch für 0.5^2x-0.5^-3=0.5^x-4 die -2 als Lösung.

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hier war ein Fehler!!!

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Versuche es mit   0.5^{2x}-0.5^{-3}=0.5^{x}+4

Answer 1

\(0.5^{2x}-0.5^{-3}=0.5^x+4 \\ \Leftrightarrow 0.5^{2x}-0.5^x=4+\dfrac{1}{0.5^3} \\ \Leftrightarrow 0.5^{2x}-0.5^x=12 \\ \Leftrightarrow (0.5^x)^2-0.5^x=12\)

Sei im Folgenden \(u=0.5^x\):

\(\Rightarrow u^2-u-12=0  \;\,\longrightarrow u_1=4, \: u_2=-3\)

Nach Rücksubstitution erhalten wir:

\(0.5^x=4 \rightarrow x=-2 \\ \vee \\0.5^x=-2 \rightarrow L=\varnothing \;\;\;\;(x\in \mathbb{R})\)