Partialbruchzerlegung - Wie mache ich hier den Koeffzientervergleich?

Question

Ich habe eine Aufgabe: 

$$\int \frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)}dx$$

Partialbruchzerlegung:

$$1 = \frac{A(x+2)(x+3)}{(x+1)} + \frac{B(x+1)(x+3)}{(x+2)} + \frac{C(x+1)(x+2)}{(x+3)}$$

Problem/Ansatz:

Wenn ich die Nullstellen einsetzen würde, 
dann teile ich pro Nullstelle ein mal durch Null. 

Wenn ich den Koeffizientenvergleich wählen würde, 
weiss ich nicht wie ich vorgehe, wegen den Brüchen. 

Frage
Kann mir das jemand zeigen ?

Answer 1

Soll es unbedingt der Koeffizientenvergleich sein?

Mit der Einsetzmethode geht es viel einfacher,

Comments

Vielen Dank Grosserloewe ! Ich habe beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner auf der rechten Seite der Gleichung falsch gekürzt und dann fingen die Probleme an.

Answer 2

Hallo limonade,

Beim Multipliziern mit dem Hauptnenner hast Du vergessen, dass sich der jeweilige Nenner wegkürzt! Der korrekte Ausdruck ist:$$1 = A(x+2)(x+3) + B(x+1)(x+3)+ C(x+1)(x+2)$$Jetzt alles ausmultiplizieren und nach \(x^0\), \(x^1\) und  \(x^2\) sortieren:$$0 = x^2(A + B + C) + x(5A + 4B + 3C) + (6A + 3B + 2C - 1)$$Damit dies für alle \(x\) aufgeht, müssen die Koeffizienten \(=0\) sein ... kommst Du alleine weiter?

Comments

Vielen Dank Werner Salomon ich habe tatsächlich diesen Fehler gemacht und das nicht gesehen !! Aiaiai !

Answer 3

Es genügt der Ansatz:

\( \frac{A}{x+1} \) + \( \frac{B}{x+2} \) + \( \frac{C}{x+3} \)

Alles wieder auf einen Nenner bringen. Koeffizientenvergleich im Zähler.

Ergebnis A=1/2; B=-1; C=1/2