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0. Einführung
Der Begriff Matrix ist in der linearen Algebra fast allgegenwärtig. Für viele Problemstellungen ist es wichtig zu wissen, was für eine Art von Matrix vorliegt. Du wirst nun \(11\) verschiedene Matrizentypen kennenlernen.
1. Die Quadratische Matrix
Eine quadratische Matrix hat genau so viele Zeilen wie Spalten, d. h. \(m=n\). Die Matrix $$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 4 & 8\end{matrix}\right]$$ ist quadratisch, da sie \(3\) Zeilen und \(3\) Spalten hat. Die Anzahl der Zeilen entspricht also der Anzahl der Spalten. Die Matrix $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 2\end{matrix}\right]$$ ist nicht quadratisch, da sie \(2\) Zeilen und \(3\) Spalten hat. Die Anzahl der Zeilen entspricht nicht der Anzahl der Spalten.
2. Die Nullmatrix
Eine Nullmatrix ist eine Matrix, die nur Nullen enthält. $$\left[\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{matrix}\right]$$ ist die \((2\times 2)-\)Nullmatrix. Es gibt auch nicht quadratische Nullmatrizen. So ist z. B. $$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$ ist die \((3\times 4)-\)Nullmatrix.
3. Die Einheitsmatrix
Eine Einheitsmatrix hat auf der Hauptdiagonale, also der Diagonalen von von links oben nach rechts unten, nur Einsen stehen und sonst nur Nullen. Eine Einheitsmatrix ist immer quadratisch. Die Matrix
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$ ist die \((3\times 3)-\)Einheitsmatrix. Die Matrix $$\left[\begin{matrix}1& 1 \\ 0 & 0\end{matrix}\right]$$ ist jedoch nicht die \((2\times 2)-\)Einheitsmatrix, da auf der Hauptdiagonalen ein Element ungleich \(1\) ist. Zudem ist das Element in der ersten Zeile und der zweiten Spalte von Null verschieden.
4. Die Diagonalmatrix
Eine Matrix, bei der nur die Hauptdiagonale von Null verschiedene Elemente hat, nennt man Diagonalmatrix. Eine Diagonalmatrix ist immer quadratisch. Die Matrix $$\left[\begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & -1\end{matrix}\right]$$ ist eine Diagonalmatrix. Die \((n\times n)-\) Einheitsmatrix ist übrigens auch eine Diagonalmatrix. Auf der Hauptdiagonale dürfen übrigens auch Nullen stehen, d. h. auch die \((n\times n)-\)Nullmatrix ist eine Diagonalmatrix. Die Matrix $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1\\ 0& 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$ ist keine Diagonalmatrix, da das Element in der ersten Zeile und der dritten Spalte von Null verschieden ist und nicht auf der Hauptdiagonale liegt.
5. Die symmetrische Matrix
Eine Matrix, bei der die transponierte Matrix, d. h. mit vertauschten Zeilen und Spalten, gleich der ursprünglichen Matrix ist, nennt man symmetrisch. Eine symmetrische Matrix muss quadratisch sein. Die Matrix $$\left[\begin{matrix}1 & -2 \\ -2 & 1\end{matrix}\right]$$ ist eine symmetrische Matrix, da die Transponierte Matrix gleich der ursprünglichen Matrix ist. Auch die Matrix $$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 0\end{matrix}\right]$$ ist symmetrisch, da die Transponierte Matrix gleich der ursprünglichen Matrix ist. Die Matrix $$\left[\begin{matrix}1 & 0 \\ -1 & 0\end{matrix}\right]$$ ist nicht symmetrisch, da die transponierte Matrix nicht der ursprünglichen entspricht.
6. Die rechte obere Dreiecksmatrix
Eine Matrix, die unterhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen enthält, nennt man rechte obere Dreiecksmatrix. Die Matrix $$\left[\begin{matrix}1 & 2 & -1\\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$ ist eine rechte obere Dreiecksmatrix, da unterhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen. Es dürfen übrigens auch Elemente auf oder oberhalb der Hauptdiagonalen den Wert Null bestizen. Zudem gibt es auch nicht quadratische rechte obere Dreiecksmatrizen, wie z. B. diese hier: $$\left[\begin{matrix}1 & 2 & -4 & 3\\ 0 & -1 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$ Die Matrix $$\left[\begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & 0\end{matrix}\right]$$ ist keine rechte obere Dreiecksmatrix, da das Element in der zweiten Zeile und ersten Spalte nicht Null ist, obwohl es unterhalb der Hauptdiagonalen liegt.
7. Die linke untere Dreiecksmatrix
Eine Matrix, die oberhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen enthält, nennt man linke untere Dreiecksmatrix. Die Matrix $$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0\\ 4 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{matrix}\right]$$ ist eine linke untere Dreiecksmatrix, da oberhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen. Es dürfen übrigens auch Elemente auf oder unterhalb der Hauptdiagonalen den Wert Null bestizen. Zudem gibt es auch nicht quadratische linke untere Dreiecksmatrizen, wie z. B. diese hier: $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 4 & 3 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$ Die Matrix $$\left[\begin{matrix}1 & 2 \\ -2 & 1\end{matrix}\right]$$ ist keine linke untere Dreiecksmatrix, da das Element in der ersten Zeile und der zweiten Spalte nicht Null ist, obwohl es oberhalb der Hauptdiagonalen liegt.
8. Die reguläre (invertierbare) Matrix
Eine Matrix ist regulär, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert, d. h. eine reguläre Matrix ist automatisch quadratisch. Die Matrix $$\left[\begin{matrix}4 & 2 \\ -3 & 1 \end{matrix}\right]$$ ist regulär, da ihre Determinante \(4\cdot 1-2\cdot (-3)=10\) und somit von \(0\) verschieden ist. Eine reguläre Matrix nennt man auch invertierbar.
9. Die singuläre (nicht invertierbare) Matrix
Wenn eine Matrix nicht regulär ist, dann ist sie singulär, d. h. ihre Determinante ist \(0\). Da die Determinante nur für quadratische Matrizen definiert ist, können nur quadratische Matrizen singulär sein. Die Matrix $$\left[\begin{matrix}-2 & 3 \\ 4 & -6 \end{matrix}\right]$$ ist singulär, da ihre Determinante \(-2\cdot (-6) - 3\cdot 4=0\) ist. Eine singuläre Matrix nennt man auch nicht invertierbar.
10. Die orthogonale Matrix
Eine Matrix ist genau dann orthogonal, wenn ihre Inverse ihre Transponierte ist. Die Matrix $$\left[\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right]$$ ist orthogonal, da ihre Inverse die Matrix $$\left[\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right]$$ ist und das ihrer Transponierten entspricht. Dass die Matrix überhaupt invertierbar ist, kannst du über die Determinante ermitteln, die in diesem Fall \(0\cdot 0-1\cdot 1 = -1\) ist. Damit ist diese Matrix gleichzeitig regulär. Um zu überprüfen, ob eine Matrix die Inverse zu einer anderen ist, kannst du diese miteinander multiplizieren. Wenn am Ende die Einheitsmatrix herauskommt, dann ist die eine Matrix die Inverse der anderen.
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