Wie berechne ich Koordinatenpunkte mit Winkeln?

Question

Aufgabe: Es sei P ein Punkt im Abstand d = 2 vom Koordinatenursprung O. Die Strecke OP schließe einen Winkel von 30° mit der Positiven x-Achse ein. Berechnen Sie die (kartesischen) Koordinaten (x,y) des Punktes P

Problem/Ansatz: Ich weiß nichts genau wie ich das mit einem Winkel machen soll. Bzw. Die Aufgabenstellung verwirrt mich schon bei der Formulierung. Ein übersichtlicher, einfach erklärter Lösungsweg wäre sehr nett.

Vielen Dank schon einmal im Voraus!

Answer 1

Es sei P ein Punkt im Abstand d = 2 vom Koordinatenursprung O.

Für den Punkt P = (x_P | y_P) gilt dann laut Pythagoras

(1)        x_P² + y_P² = 2².

Die Strecke OP schließe einen Winkel von 30° mit der Positiven x-Achse ein.

Dann ist laut Definition des Sinus

(2)        y_P/2 = sin(30°).

Die Gleichungen (1) und (2) bilden ein Gleichungssystem. Löse es.

Es sei P ein Punkt im Abstand d = 2 vom Koordinatenursprung O. Die Strecke OP schließe einen Winkel von 30° mit der Positiven x-Achse ein.

Fertige eine Zeichnung an, wenn du nicht verstehst, warum die Gleichungen (1) und (2) gültig sind.

Comments

@oswald:

Wenn dir schon die Ehre der "Besten Antwort" zuteil wurde:

Möchtest du noch Ergänzungen anbringen?

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OK, hier die Ergänzung:

Hallo Mary_Lin,

wie eine Zeichnung aussehen könnte, findest du in der Antwort von abakus. Das rechtwinklige Dreieck, das Pythagoras und Sinus rechtfertigt, bekommst du indem du von Punkt A eine Linie senkrecht auf die x-Achse zeichnest.

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@oswald:

Da hast du mich grob missverstanden.

Ich wollte NICHT darauf hinweisen, wie man deinen Lösungsweg nett grafisch illustrieren kann.

Deine Gleichung (2) liefert in Verbindung mit (1)

- erstens auch eine falsche Lösung (sin(30°).=sin(150°))

vor allem aber

- zweitens nicht alle Lösungen, denn du hättest auch sin(-30°) in Betracht ziehen müssen. So ist dir der in meiner Abbildung sichtbare Punkt im vierten Quadranten entgangen.

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Die Strecke OP schließe einen Winkel von 30° mit der Positiven x-Achse ein.

Hätte ich geometrisch auch wie abakus gelöst.

Falls Mary_Lin bereits mit gerichteten Winkeln rechnet, ist vielleicht doch nur eine Lösung gesucht.

Answer 2

Lösungsweg?

Solltest du schon selbst finden.

Eine Skizze muss reichen: