Nachschüssiger Rentenbarwert. Gesucht ist der Zinssatz

Question

Aufgabe:

Gegeben sind:

R₀=30881,41

Wie muss der Zinssatz sein um die nächsten zehn Jahre eine monatliche Auszahlung von 500 Euro, jeweils zum Monatsende zu ermöglichen?

Problem/Ansatz:

Also was mir klar ist, dass die Formel zum nachschlüssigen Rentenbarwert zur Anwendung kommen sollte. Aber auch die für die jährliche Ersatzrate, da das Kapital ja unterjährig ausgezahlt werden muss aber nur jährlich verzinst wird oder?

Die Formel zum nachschlüssigen Rentenbarwert ist ja:

$$ \mathrm{R}_{0}=\mathrm{r} \cdot \frac{\mathrm{q}^{\mathrm{n}}-1}{\mathrm{q}-1} \cdot \frac{1}{\mathrm{q}^{\mathrm{n}}} $$

Muss ich dann noch die Ersatzrate einbauen für "r" und wie löse ich dann nach q auf?

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!

Answer 1

Es wird nicht gesagt, wie verzinst wird. Es könnte auch unterjährig verzinst werden.

Die Gleichung kannst du nur mit einem Näherungsverfahren oder Solver lösen.

Ansatz, falls unterjährig verzinst wird:

q= relativer Monatszinsfaktor:

30881,41*q^120 = 500*(q^120-1)/(q-1)

q= 1,01258

i= (q-1)*12 = 0,151 = 15,1% p.a.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=30881.41*q%5E120+%3D+500*(q%5E120-1)%2F(q-1)

Ich gehe davon aus, dass R0 das Anfangskapital ist.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort, aber die Zinsperiode ist jährlich. Wie sieht es dann aus?

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Ersatzrate E:

E= 12*500+ 500*i/12*66

30881,41*(1+i)^10 = E*((1+i)^10 -1)/i

https://www.wolframalpha.com/input/?i=30881.41*(1%2Bx)%5E10+%3D+(12*500%2B+500*x%2F12*66)*((1%2Bx)%5E10+-1)%2Fx

i= 0,1624 = 16,24%

i =x bei wolfram 

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Vielen Dank für deine Mühe aber ich kann Dir leider nicht folgen.

Meine Ersatzratenformel sieht so aus:

$$ r_{E}=\overline{r} \cdot\left[m+\frac{i}{2} \cdot(m - 1)\right] $$

eingesetzt habe ich dann:

$$ r_{E}={500} \cdot\left[12+\frac{i}{2} \cdot(12 - 1)\right] $$

Hier habe ich ja sogar zwei fehlende Variablen oder nicht?

Grüße

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Das ist nur eine andere Formel, die zum selben Ergebnis führt. Ich verwende immer eine andere (mit arithmetischer Reihe).

Du hast nur 1 Variable,nämlich i, wie ich auch.

Lösen aber kann man nur mit einem Solver oder Näherungsverfahren, da es eine Gleichung 10. Grades ist.

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Okay vielen Dank, also ich setze die Ersatzrate r_E in die obere Formel des nachschlüssigen Rentenbarwertes ein? Das hieße dann:

$$ R_{ 0 }=\left[ 500*\left[ 12+\frac{ \mathrm{ i }} { 2 }*\left( 12-1 \right) \right] \right]*\frac{ q^{10}-1 }{ q-1 }*\frac{ 1 }{q^{ 10 }  } $$

bzw.:

$$30.881,41=\left[ 500*\left[ 12+\frac{ q-1} { 2 }*\left( 12-1 \right) \right] \right]*\frac{ q^{10}-1 }{ q-1 }*\frac{ 1 }{q^{ 10 }  }$$

Ist das soweit richtig. Ich weiß ich werde am Schluss mit Newton lösen müssen aber wie komme ich dann erstmal weiter?

Grüße

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Stimmt soweit.

Du kannst die Klammer auflösen.

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Okay, das wäre dann:

$$30.881,41=\left[ 2750q +3250 \right]*\frac{ q^{10}-1 }{ q-1 }*\frac{ 1 }{q^{ 10 }  }$$

und weiter:

$$30.881,41=\frac{ 2750q^{ 11 }-2750q+3250q^{ 10 }-3250 }{ q-1*q^{ 10 } }$$

Ist es bis hierher richtig?

Was nun? Äquivalenzumforumung * den Nenner?

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Im Nenner Klammer setzen :(q-1)*q^10

Gleichung in Nullform bringen: ... = 0

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Dann komme ich nach ausmultiplizieren und ausklammern auf:

$$ 0=\frac{ 2750q^{ 11 }+3250q^{ 10 }-2750q -3250} {q^{ 10 }\left( q-1 \right)  } -30881,41 $$

Wenn ich hier aber weiter rechne, komme ich nicht auf die richtige Lösung :-(

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Dann musst du dich verrechnet haben.

Bei Wolfram kommt auch mein Ergebnis von oben raus, wenn ich deine Formel eingebe.

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Okay. Ich kürze also das q^10 raus, dann bleibt:

$$0=\frac{ 2750q^{ 11 }-2750q} {q-1} -30881,41$$

Dann multipliziere ich alles mit q-1 um den Bruch wegzubekommen oder?

Dann bleibt:

$$0=2750q^{ 11 }-33631,41q +30881,41$$

Das stimmt aber irgendwie nich :-(

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Dein Kürzen ist mir völlig schleierhaft! Wieso fällt da soviel raus?

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Hihi,

also ich habe das q¹⁰ im Nenner bei 3250q¹⁰ im Zähler gekürzt. Dann würden sich die beiden 3250 aufheben?

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Bedenke:

(a+b+c+d+...)/c = a/c +b/c +c/c + d/c + ...

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Das heißt ich darf es nicht herauskürzen? Aber es ist doch ein Produkt oder?